《2025年高分突破课时达标讲练测七年级数学上册北师大版》

例1 如图,设A,B,C,D为4个居民小区,现要在四边形ABCD内建一个购物中心,试问应把购物中心建在何处,才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小？请说明理由。

答案： 解：应建在对角线$AC$与$BD$的交点处。
理由：设对角线$AC$与$BD$交点为$O$，另取一点$O'$。
根据三角形两边之和大于第三边，在$\triangle AO'D$中，$AO' + DO' ＞ AD$（$AD = AO + DO$）；在$\triangle BO'C$中，$BO' + CO' ＞ BC$（$BC = BO + CO$）。
则$AO' + BO' + CO' + DO' ＞ AO + BO + CO + DO$，即对角线交点$O$到$A$、$B$、$C$、$D$四个居民小区的距离之和最小。

1. 如图,把三角形剪去一个角,所得四边形的周长比原三角形的周长小,能正确解释这一现象的数学知识是 (C)

A.四边形周长小于三角形周长
B.两点确定一条直线
C.两点之间,线段最短
D.经过一点有无数条直线

答案： C

①AB + BC = AC；
②AB = AD - BD = AC - BC；
③AB + CD = AD - BC；
④AC + BD = AD + BC。

答案： ①AC ②BD BC ③BC ④BC

2. 如图,AB = CD,那么AC与BD的大小关系是 (A)
A.AC = BD
B.AC ＜ BD
C.AC ＞ BD
D.不能确定

答案： 2.A 

3. 下列条件中,点A,B,C不可能在同一条直线上的是 ( )
A.AB = 4cm,BC = 6cm,AC = 2cm
B.AB = 8cm,BC = 5cm,AC = 4cm
C.AB = 17cm,BC = 7cm,AC = 10cm
D.AB = 3cm,BC = 9cm,AC = 6cm

答案： B

4. 看图填空：
(1) AC = ____ + AB；
(2) AD - AB = ____ = AC - ____ + CD。

答案： 4.
(1)BC
(2)BD AB

例3 (1) 如图1,AB = 6cm,点C是线段AB的中点,点D是线段BC的中点,求线段AD的长；


(2) (2025·重庆育才)如图2,点A,B,C,D在同一直线上,已知AB = $\frac{1}{3}AC$,BC = $\frac{2}{3}CD$,且点E,F分别是AC,BD的中点。若EF = 8,求AF的长；

(3) 如图3,已知线段AB上有两点C,D,使得AC：CD：DB = 1：2：3,点M是线段AC的中点,点N是线段AB上的点,且满足DN = $\frac{1}{4}DB$,AB = 24。求线段MN的长。

[思维点拨] 运用线段中点的性质进行计算或推理时,注意结合图形进行分析(数形结合),常常会因点的位置不确定而进行分类讨论。

答案： $(1)$ 求线段$AD$的长
解：
因为点$C$是线段$AB$的中点，$AB = 6cm$，根据线段中点的定义：若点$C$是线段$AB$中点，则$AC=BC=\frac{1}{2}AB$，所以$AC = BC=\frac{1}{2}×6 = 3cm$。
又因为点$D$是线段$BC$的中点，所以$CD=\frac{1}{2}BC$，则$CD=\frac{1}{2}×3 = 1.5cm$。
根据线段的和的关系$AD=AC + CD$，可得$AD=3 + 1.5=4.5cm$。
$(2)$ 求$AF$的长
解：
设$AB=x$，因为$AB=\frac{1}{3}AC$，所以$AC = 3x$，则$BC=AC - AB=3x - x = 2x$。
又因为$BC=\frac{2}{3}CD$，所以$CD = 3x$，$BD=BC + CD=2x+3x = 5x$。
因为点$E$是$AC$的中点，所以$AE=EC=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}x$；因为点$F$是$BD$的中点，所以$BF=FD=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}x$。
$EF=EC+CF$，$CF=BF - BC$，即$CF=\frac{5}{2}x-2x=\frac{1}{2}x$，$EF=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}x = 2x$。
已知$EF = 8$，即$2x = 8$，解得$x = 4$。
$AF=AB+BF$，$BF=\frac{5}{2}x$，$x = 4$，所以$BF=\frac{5}{2}×4 = 10$，$AB = 4$，则$AF=4 + 10=14$。
$(3)$ 求线段$MN$的长
解：
因为$AC:CD:DB = 1:2:3$，设$AC=x$，$CD = 2x$，$DB = 3x$，则$AB=AC + CD+DB=x + 2x+3x=6x$。
已知$AB = 24$，即$6x = 24$，解得$x = 4$。
所以$AC = 4$，$CD = 8$，$DB = 12$。
因为点$M$是线段$AC$的中点，所以$AM=MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4 = 2$。
因为$DN=\frac{1}{4}DB$，所以$DN=\frac{1}{4}×12 = 3$。
分两种情况讨论：
当点$N$在线段$DB$上时，$MN=MC+CD+DN=2 + 8+3=13$。
当点$N$在线段$AD$上时，$MN=MC+CD - DN=2 + 8-3=7$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{4.5cm}$；$(2)$$\boldsymbol{14}$；$(3)$$\boldsymbol{7}$或$\boldsymbol{13}$。