《2025年高分突破课时达标讲练测七年级数学上册北师大版》

1. 指出下列变化中所运用的运算律:
(1)$3×(-2)×(-5)= 3×[(-2)×(-5)]$乘法结合律;
(2)$48×(\frac{5}{24}-2\frac{1}{6})= 48×\frac{5}{24}-48×\frac{13}{6}$乘法对加法的分配律。

答案：
(1)乘法结合律
(2)乘法对加法的分配律

2. 利用简便方法计算:
(1)$(-\frac{5}{11})×(-\frac{8}{13})×(-2\frac{1}{5})×(-\frac{3}{4})$;
(2)$(-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{5}{12})×(-24)$;
(3)$-6×\frac{3}{7}+4×\frac{3}{7}-5×\frac{3}{7}$;
(4)$-2\frac{13}{14}×7$。

答案： $(1)$ 计算$(-\frac{5}{11})×(-\frac{8}{13})×(-2\frac{1}{5})×(-\frac{3}{4})$
解：
先将带分数$-2\frac{1}{5}$化为假分数$-\frac{11}{5}$，
根据乘法交换律和结合律$a× b× c× d=(a× c)×(b× d)$，则：
$\begin{aligned}&(-\frac{5}{11})×(-\frac{8}{13})×(-\frac{11}{5})×(-\frac{3}{4})\\=&[(-\frac{5}{11})×(-\frac{11}{5})]×[(-\frac{8}{13})×(-\frac{3}{4})]\\=&1×\frac{6}{13}\\=&\frac{6}{13}\end{aligned}$
$(2)$ 计算$(-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{5}{12})×(-24)$
解：
根据乘法分配律$(a + b + c)× d=a× d + b× d + c× d$，则：
$\begin{aligned}&(-\frac{1}{4})×(-24)+\frac{1}{3}×(-24)-\frac{5}{12}×(-24)\\=&6 - 8 + 10\\=&(6 + 10)-8\\=&16 - 8\\=&8\end{aligned}$
$(3)$ 计算$-6×\frac{3}{7}+4×\frac{3}{7}-5×\frac{3}{7}$
解：
根据乘法分配律的逆运算$a× c + b× c + d× c=(a + b + d)× c$，这里$c = \frac{3}{7}$，则：
$\begin{aligned}&(-6 + 4-5)×\frac{3}{7}\\=&(-7)×\frac{3}{7}\\=&- 3\end{aligned}$
$(4)$ 计算$-2\frac{13}{14}×7$
解：
先将带分数$-2\frac{13}{14}$化为$-(3-\frac{1}{14})$，
根据乘法分配律$(a - b)× c=a× c - b× c$，则：
$\begin{aligned}&-(3-\frac{1}{14})×7\\=&-(3×7-\frac{1}{14}×7)\\=&-(21-\frac{1}{2})\\=&-20\frac{1}{2}\end{aligned}$
综上，答案依次为$(1)\boldsymbol{\frac{6}{13}}$；$(2)\boldsymbol{8}$；$(3)\boldsymbol{-3}$；$(4)\boldsymbol{-20\frac{1}{2}}$。

例2 已知x,y为有理数,现规定一种新运算※,满足$x※y = xy + 1$,如$1※2 = 1×2 + 1 = 3$。
(1)求$2※4$的值;
(2)求$(1※4)※(-2)$的值。

答案： 1. （1）
解：根据新运算$x※y = xy + 1$，当$x = 2$，$y = 4$时，
则$2※4=2×4 + 1$。
先计算乘法：$2×4=8$，再计算加法：$8 + 1=9$。
2. （2）
解：先计算$1※4$的值，当$x = 1$，$y = 4$时，
根据$x※y = xy+1$，可得$1※4=1×4 + 1$。
先算乘法：$1×4 = 4$，再算加法：$4 + 1=5$。
此时$(1※4)※(-2)$就变为$5※(-2)$，当$x = 5$，$y=-2$时，
根据$x※y = xy + 1$，则$5※(-2)=5×(-2)+1$。
先算乘法：$5×(-2)=-10$，再算加法：$-10 + 1=-9$。
综上，（1）$2※4$的值为$9$；（2）$(1※4)※(-2)$的值为$-9$。

3. 若定义一种新的运算“*”,规定有理数$a*b = 4ab$,如$2*3 = 4×2×3 = 24$。则$(-2)*(6*3)= $-576。

答案： -576

4. 已知x,y均为有理数,现规定一种新运算“△”,满足$x△y = xy + |x - y| - 2$。例如$1△2 = 1×2 + |1 - 2| - 2 = 1$。
(1)求$1△(-3)$的值;
(2)求$[3△(-2)]△4$的值;
(3)计算$2△5和5△2$的值,并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律。

答案： $(1)$求$1\triangle(-3)$的值
解：根据新运算$x\triangle y = xy + |x - y| - 2$，将$x = 1$，$y=-3$代入可得：
$1\triangle(-3)=1×(-3)+|1 - (-3)| - 2$
$=-3+|1 + 3| - 2$
$=-3 + 4 - 2$
$=-1$
$(2)$求$[3\triangle(-2)]\triangle4$的值
解：先计算$3\triangle(-2)$的值：
$3\triangle(-2)=3×(-2)+|3 - (-2)| - 2$
$=-6+|3 + 2| - 2$
$=-6 + 5 - 2$
$=-3$
再计算$(-3)\triangle4$的值：
$(-3)\triangle4=(-3)×4+|-3 - 4| - 2$
$=-12+| - 7| - 2$
$=-12 + 7 - 2$
$=-7$
所以$[3\triangle(-2)]\triangle4=-7$。
$(3)$计算$2\triangle5$和$5\triangle2$的值，并判断是否满足交换律
解：计算$2\triangle5$的值：
$2\triangle5=2×5+|2 - 5| - 2$
$=10+| - 3| - 2$
$=10 + 3 - 2$
$=11$
计算$5\triangle2$的值：
$5\triangle2=5×2+|5 - 2| - 2$
$=10+|3| - 2$
$=10 + 3 - 2$
$=11$
因为$2\triangle5 = 5\triangle2 = 11$，即$x\triangle y=y\triangle x$，所以这种新定义满足交换律。
综上，答案依次为：$(1)$$-1$；$(2)$$-7$；$(3)$$2\triangle5 = 11$，$5\triangle2 = 11$，**满足交换律**。