《2025年高分突破课时达标讲练测七年级数学上册北师大版》

(1)一个两位数,个位、十位上的数字之和是5,如果把个位上的数字与十位上的数字对换可以得到比原数小9的两位数,则这个两位数是(C)
A. 14 B. 23 C. 32 D. 41
(2)某学校买来大、小两种椅子共20把,共花去2750元。已知大椅子每把150元,小椅子每把100元。问买了大、小椅子各多少把？
解：设买了大椅子$x$把，小椅子$y$把。
根据大、小两种椅子共20把，可得$x + y=20$，即$y = 20 - x$。
又因为共花去2750元，大椅子每把150元，小椅子每把100元，所以$150x + 100y=2750$。
把$y = 20 - x$代入$150x + 100y=2750$中：
$150x+100(20 - x)=2750$。
展开括号得$150x + 2000-100x=2750$。
合并同类项：$(150x - 100x)+2000=2750$，$50x+2000 = 2750$。
移项得$50x=2750 - 2000$，$50x=750$。
解得$x = 15$。
把$x = 15$代入$y = 20 - x$，得$y = 20 - 15 = 5$。
答：买了大椅子15把，小椅子5把。

答案： 1. （1）
设这个两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。
根据个位、十位上的数字之和是$5$，可得$x + y=5$，即$y = 5 - x$。
原数为$10x + y$，对换后的新数为$10y + x$。
又因为对换后得到的数比原数小$9$，所以$(10x + y)-(10y + x)=9$。
把$y = 5 - x$代入$(10x + y)-(10y + x)=9$中：
$10x+(5 - x)-[10(5 - x)+x]=9$。
展开括号得$10x + 5 - x-(50 - 10x+x)=9$。
即$10x + 5 - x - 50 + 10x - x=9$。
合并同类项：$(10x - x+10x - x)+(5 - 50)=9$，$18x-45 = 9$。
移项得$18x=9 + 45$，$18x=54$，解得$x = 3$。
把$x = 3$代入$y = 5 - x$，得$y = 5 - 3=2$。
所以这个两位数是$10x + y=10×3 + 2=32$，答案选C。
2. （2）
解：设买了大椅子$x$把，小椅子$y$把。
根据大、小两种椅子共$20$把，可得$x + y=20$，即$y = 20 - x$。
又因为共花去$2750$元，大椅子每把$150$元，小椅子每把$100$元，所以$150x + 100y=2750$。
把$y = 20 - x$代入$150x + 100y=2750$中：
$150x+100(20 - x)=2750$。
展开括号得$150x + 2000-100x=2750$。
合并同类项：$(150x - 100x)+2000=2750$，$50x+2000 = 2750$。
移项得$50x=2750 - 2000$，$50x=750$。
解得$x = 15$。
把$x = 15$代入$y = 20 - x$，得$y = 20 - 15 = 5$。
答：买了大椅子$15$把，小椅子$5$把。

3. 有一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大5,如果把这两个数位上的数字的位置对换,那么所得的新数与原数的和是143,则这个两位数为49。

答案： 49

4. 某人利用网络直播销售甲、乙两种商品,预计用4600元购进一批商品,其中乙种商品的个数比甲种商品的3倍少30个,甲、乙两种商品的单价分别为20元/个、30元/个。问这批商品中甲、乙两种商品各有多少个？

答案： 甲:50个,乙:120个

2. 去分母的依据：等式的性质 2。
注意：①分子如果是多项式,要先加上括号,再去分母。②整数项不要漏乘分母的最小公倍数,特别是整数 1 更容易漏乘。③分母中含有的小数要先利用分数的性质将其转化为整数,再去分母。

答案： 等式的性质 2 括号 最小公倍数 分数的性质

3. 解一元一次方程的一般步骤
去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。
通过这些步骤可以使以 x 为未知数的方程逐步向着 x = a 的形式转化,这个过程主要是依据等式的基本性质和运算律等。

答案： 去分母 去括号 移项 合并同类项 未知数的系数化为1

4. 分数线的双重作用
一是代替除号,二是代替括号。若分子是多项式,去分母后,应将分子作为一个整体加上括号,再乘相应的数。

答案： 除号 括号 括号

例 1 解下列方程：
(1)$\frac {3x + 1}{2}-2= \frac {2x - 1}{3}$；
(2)$3x+\frac {x - 1}{2}= 3-\frac {2x - 1}{3}$；
(3)$\frac {3x + 1}{2}-2= \frac {3x - 2}{10}-\frac {2x + 3}{5}$；
(4)$\frac {0.2x - 0.1}{0.3}= \frac {0.1x + 1}{0.2}-1$。

答案： 1. （1）
解：
方程$\frac{3x + 1}{2}-2=\frac{2x - 1}{3}$，
去分母，两边同乘$6$得：$6×\frac{3x + 1}{2}-6×2 = 6×\frac{2x - 1}{3}$，
即$3(3x + 1)-12 = 2(2x - 1)$，
去括号得：$9x+3 - 12 = 4x-2$，
移项得：$9x-4x=-2 - 3 + 12$，
合并同类项得：$5x = 7$，
系数化为$1$得：$x=\frac{7}{5}$。
2. （2）
解：
方程$3x+\frac{x - 1}{2}=3-\frac{2x - 1}{3}$，
去分母，两边同乘$6$得：$6×3x+6×\frac{x - 1}{2}=6×3-6×\frac{2x - 1}{3}$，
即$18x + 3(x - 1)=18-2(2x - 1)$，
去括号得：$18x+3x-3 = 18-4x + 2$，
移项得：$18x+3x + 4x=18 + 2+3$，
合并同类项得：$25x = 23$，
系数化为$1$得：$x=\frac{23}{25}$。
3. （3）
解：
方程$\frac{3x + 1}{2}-2=\frac{3x - 2}{10}-\frac{2x + 3}{5}$，
去分母，两边同乘$10$得：$10×\frac{3x + 1}{2}-10×2 = 10×\frac{3x - 2}{10}-10×\frac{2x + 3}{5}$，
即$5(3x + 1)-20=(3x - 2)-2(2x + 3)$，
去括号得：$15x+5 - 20 = 3x-2-4x - 6$，
移项得：$15x-3x + 4x=-2 - 6-5 + 20$，
合并同类项得：$16x = 7$，
系数化为$1$得：$x=\frac{7}{16}$。
4. （4）
解：
方程$\frac{0.2x - 0.1}{0.3}=\frac{0.1x + 1}{0.2}-1$，
先将分子分母化为整数，$\frac{2x - 1}{3}=\frac{x + 10}{2}-1$，
去分母，两边同乘$6$得：$6×\frac{2x - 1}{3}=6×\frac{x + 10}{2}-6×1$，
即$2(2x - 1)=3(x + 10)-6$，
去括号得：$4x-2 = 3x+30-6$，
移项得：$4x-3x=30-6 + 2$，
合并同类项得：$x = 26$。
综上，（1）$x=\frac{7}{5}$；（2）$x=\frac{23}{25}$；（3）$x=\frac{7}{16}$；（4）$x = 26$。