《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

13. 如图，平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，分别以点 $B$，$C$ 为圆心，$\frac{1}{2}AC$，$\frac{1}{2}BD$ 长为半径画弧，两弧交于点 $P$，连接 $BP$，$CP$。
(1) 试判断四边形 $BPCO$ 的形状，并说明理由；
(2) 请说明当平行四边形 $ABCD$ 的对角线满足什么条件时，四边形 $BPCO$ 是正方形。

答案： 13.
(1)四边形 $ BPCO $ 是平行四边形。理由如下：
∵ 平行四边形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $，$ BD $ 交于点 $ O $，
∴ $ AO = OC $，$ BO = OD $。
∵ 分别以点 $ B $，$ C $ 为圆心，$ \frac{1}{2}AC $，$ \frac{1}{2}BD $ 长为半径画弧，两弧交于点 $ P $，
∴ $ BP = \frac{1}{2}AC = OC $，$ CP = \frac{1}{2}BD = OB $，
∴ 四边形 $ BPCO $ 是平行四边形。　
(2)
∵ 对角线相等、互相平分且垂直的四边形是正方形，
∴ 当 $ AC = BD $ 且 $ AC \perp BD $ 时，四边形 $ BPCO $ 是正方形。