《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

11. 如图，在 $\square ABCD$ 中，$\angle DAB = 60^{\circ}$，点 $E$，$F$ 分别在 $CD$，$AB$ 的延长线上，且 $AE = AD$，$CF = CB$。
(1) 求证：四边形 $AFCE$ 是平行四边形。
(2) 若去掉已知条件中的“$\angle DAB = 60^{\circ}$”，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。

答案：
(1) $ \because $ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$ \therefore DC // AB $，$ \angle DCB = \angle DAB = 60^{\circ} $，$ \therefore \angle ADE = \angle CBF = 60^{\circ} $。$ \because AE = AD $，$ CF = CB $，$ \therefore \triangle AED$，$ \triangle CFB$ 都是正三角形。$ \because AD = BC $，$ DC // AB $，$ \therefore ED = BF $。$ \therefore ED + DC = BF + AB $，即 $EC = AF $。$ \because DC // AB $，即 $EC // AF $，$ \therefore $ 四边形 $AFCE$ 是平行四边形。
(2) 上述结论还成立。证 $ \triangle ADE \cong \triangle CBF $，$ \therefore ED = FB $，$ \therefore ED + DC = BF + AB $，即 $EC = AF $。又 $ \because DC // AB $，即 $EC // AF $。$ \therefore $ 四边形 $AFCE$ 是平行四边形。

12. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle CAB = 30^{\circ}$，以线段 $AB$ 为边向外作等边 $\triangle ABD$，点 $E$ 是线段 $AB$ 的中点，连接 $CE$ 并延长交线段 $AD$ 于点 $F$。
(1) 求证：四边形 $BCFD$ 为平行四边形；
(2) 若 $AB = 6$，求 $\square BCFD$ 的面积。

答案：
(1) 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$E$ 为 $AB$ 的中点，则 $CE = \frac{1}{2}AB$，$BE = \frac{1}{2}AB$。又 $ \angle CAB = 30^{\circ} $，$ \therefore \angle BCE = \angle EBC = 60^{\circ} $。$ \therefore \angle EBC = \angle EAF = 60^{\circ} $，$ BE = AE $，$ \angle BEC = \angle AEF $，$ \therefore \triangle AEF \cong \triangle BEC(ASA) $，$ \therefore \angle AFE = \angle BCE = 60^{\circ} $。又 $ \angle D = 60^{\circ} $，得 $ \angle AFE = \angle D = 60^{\circ} $，$ \therefore FC // BD $。又 $ \because \angle BAD = \angle ABC = 60^{\circ} $，$ \therefore AD // BC $，$ \therefore $ 四边形 $BCFD$ 是平行四边形。
(2) $ 9\sqrt{3} $ （提示：在 $Rt\triangle ABC$ 中，求出 $BC$，$AC$ 即可解决问题。）