《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

13. 定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若$AM=9$，$MN=15$，$BN=12$，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.
(2)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若$AB=24$，$AM=6$，求BN的长.

答案：
(1) 是。理由如下：$\because AM^{2} + BN^{2} = 9^{2} + 12^{2} = 225$，$MN^{2} = 15^{2} = 225$，$\therefore AM^{2} + NB^{2} = MN^{2}$，$\therefore$ 以 $AM$，$MN$，$NB$ 为边的三角形是直角三角形，$\therefore$ 点 $M$，$N$ 是线段 $AB$ 的勾股分割点。
(2) 设 $BN = x$，则 $MN = 24 - AM - BN = 18 - x$，① 当 $MN$ 为最长线段时，依题意 $MN^{2} = AM^{2} + NB^{2}$，即 $(18 - x)^{2} = 36 + x^{2}$，解得 $x = 8$；② 当 $BN$ 为最长线段时，依题意 $BN^{2} = AM^{2} + MN^{2}$，即 $x^{2} = 36 + (18 - x)^{2}$，解得 $x = 10$。综上所述，$BN = 8$ 或 10。