《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

12. 已知$m$，$n$是关于$x$的方程$(k+1)x^{2}-x+1=0$的两个实数根，且满足$k+1=(m+1)\cdot(n+1)$，求实数$k$的值。

答案： $k=-2$

13. 关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)=0$，其中$a$，$b$，$c$分别为$\triangle ABC$三边的长。
(1) 如果$x=-1$是方程的根，试判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由；
(2) 如果方程有两个相等的实数根，试判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由；
(3) 如果$\triangle ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。

答案： （1）$\triangle ABC$ 是等腰三角形。理由：$\because x=-1$ 是方程的根，$\therefore (a+c)\times (-1)^{2}-2b+(a-c)=0$，$\therefore a-b=0$，$\therefore a=b$，$\therefore \triangle ABC$ 是等腰三角形。（2）$\because$ 方程有两个相等的实数根，$\therefore (2b)^{2}-4(a+c)(a-c)=0$，$\therefore a^{2}=b^{2}+c^{2}$，$\therefore \triangle ABC$ 是直角三角形。（3）$\because \triangle ABC$ 是等边三角形，$\therefore (a+c)x^{2}+2bx+(a-c)=0$，可整理为 $2ax^{2}+2ax=0$，$\therefore x^{2}+x=0$，解得 $x_{1}=0$，$x_{2}=-1$。