《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

12. 阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，并求出$x$的值.
【问题】解方程：$x^{2}+2x+4\sqrt {x^{2}+2x}-5=0$.
【提示】可以用“换元法”解方程.
解：设$\sqrt {x^{2}+2x}=t(t≥0)$，则$x^{2}+2x=t^{2}$，
原方程可化为$t^{2}+4t-5=0$，
【续解】$(t+2)^{2}=9$，

答案： $ (t+2)^{2}=9,\therefore t_{1}=1 $，$ t_{2}=-5 $。$ \because t=\sqrt{x^{2}+2x}\geqslant 0,\therefore t=\sqrt{x^{2}+2x}=1 $，则有 $ x^{2}+2x=1 $，配方，得 $ (x+1)^{2}=2 $，解得 $ x_{1}=-1+\sqrt{2} $，$ x_{2}=-1-\sqrt{2} $。经检验：$ x_{1}=-1+\sqrt{2},x_{2}=-1-\sqrt{2} $ 都是原方程的根。

13. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+m=0$.
(1) 求证：无论$m$取什么值，方程都有两个不相等的实数根；
(2) 设该方程的两个实数根为$a,b$，若$(2a+b)(a+2b)=20$，求$m$的值.

答案：
(1) 证明：$ \because \Delta =[-(2m+1)]^{2}-4(m^{2}+m)=1＞0,\therefore $ 无论 $ m $ 取什么值，原方程都有两个不相等的实数根。
(2) $ \because $ 该方程的两个实数根为 $ a,b,\therefore a+b=2m+1,ab=m^{2}+m $。$ \because (2a+b)(a+2b)=2(a+b)^{2}+ab=20 $，即 $ m^{2}+m-2=0 $，解得 $ m_{1}=-2 $，$ m_{2}=1 $。$ \therefore m $ 的值为 $ -2 $ 或 $ 1 $。