《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

6. 在四边形 $ABCD$ 中，$AB// CD$，要使四边形 $ABCD$ 为平行四边形，则应添加的条件是______(添加一个条件即可)。

答案： $AB = CD$ 或 $AD // BC$

7. 如下左图，在 $\square ABCD$ 中，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$E$，$F$ 分别在 $CD$ 和 $BC$ 的延长线上，$AE// BD$，$EF\perp BF$，$EF=\sqrt{3}$，那么 $AB$ 的长是______。

答案： 1

8. 如上图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 6$，$AC = 4$，$AD$ 是 $BC$ 边上的中线，则 $AD$ 的取值范围是______。

答案： $1 ＜ AD ＜ 5$（提示：延长 $AD$ 到 $E$，使 $DE = AD$，连接 $EB$，证 $ \triangle EBD \cong \triangle ACD$，再利用三角形的有关知识求解）

9. 如上右图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，$BC = 4$，$E$ 为 $AD$ 边上一动点，过 $E$ 点作 $EF\perp BC$，垂足为点 $F$，连接 $AF$，以 $AF$ 为轴将 $\triangle ABF$ 进行翻折，得到 $\triangle AB'F$，连接 $EC$。
(1) 当 $A$，$B'$，$C$ 三点在同一条直线上时，$FC$ 的长为______；
(2) 当 $B'$ 点落在线段 $EC$ 上时，$FC$ 的长为______。

答案：

(1) $ \frac{5}{2} $
(2) 2 或 1[提示：
(1) 如图，

$ \because AB = 3 $，$ BC = 4 $，$ \therefore AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = 5 $，$ BF = 4 - FC $。$ \because $ 以 $AF$ 为轴将 $ \triangle ABF $ 进行翻折，得到 $ \triangle AB'F $，$ \therefore BF = B'F = 4 - FC $，$ \angle B = \angle AB'F = 90^{\circ} $，$ AB = AB' = 3 $，$ \therefore B'C = AC - AB' = 2 $。在 $ Rt\triangle B'FC $ 中，$ B'F^{2} + B'C^{2} = FC^{2} $，$ \therefore (4 - FC)^{2} + 4 = FC^{2} $，解得 $ FC = \frac{5}{2} $。
(2) 如图，过点 $E$ 作 $EH \perp AF$ 于点 $H$，过点 $B'$ 作 $B'N \perp AF$ 于点 $N$

$ \because $ 以 $AF$ 为轴将 $ \triangle ABF $ 进行翻折，得到 $ \triangle AB'F $，$ \therefore AB = AB' = 3 $，$ \angle BAF = \angle B'AF $。$ \because EF \perp BC $，$ \therefore \angle EFB = \angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ} $，$ \therefore $ 四边形 $ABFE$ 是矩形，$ \therefore AB = EF $，$ AB // EF $，$ \therefore \angle BAF = \angle AFE = \angle B'AF $。在 $ \triangle EFH $ 和 $ \triangle B'AN $ 中，$ \begin{cases} \angle AFE = \angle B'AF \\ \angle FHE = \angle ANB' \\ EF = AB' \end{cases} $ $ \therefore \triangle EFH \cong \triangle B'AN(AAS) $。]

10. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$，$E$ 分别为 $AB$，$AC$ 的中点，点 $H$ 在线段 $CE$ 上，连接 $BH$，点 $G$，$F$ 分别为 $BH$，$CH$ 的中点。
(1) 求证：四边形 $DEFG$ 为平行四边形；
(2) 若 $DG\perp BH$，$BD = 3$，$EF = 2$，求线段 $BG$ 的长度。

答案：
(1) $ \because $ 点 $D$，$E$ 分别为 $AB$，$AC$ 的中点，$ \therefore DE // BC $，$ DE = \frac{1}{2}BC $。$ \because $ 点 $G$，$F$ 分别为 $BH$，$CH$ 的中点，$ \therefore GF // BC $，$ GF = \frac{1}{2}BC $。$ \therefore GF // DE $，$ GF = DE $。$ \therefore $ 四边形 $DEFG$ 为平行四边形。
(2) $ \because $ 四边形 $DEFG$ 为平行四边形，$ \therefore DG = EF = 2 $。$ \because DG \perp BH $，$ \therefore \angle DGB = 90^{\circ} $。$ \because BD = 3 $，$ \therefore BG = \sqrt{BD^{2} - DG^{2}} = \sqrt{3^{2} - 2^{2}} = \sqrt{5} $。