《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

12. 某农户为发展家庭养禽业,计划用现有的墙(墙长$25m$)和$34m$长的篱笆围一个面积为$120m^{2}$的矩形养鸡场(如图所示),求这个养鸡场的长和宽.

答案： 长 24 m，宽 5 m 或长 10 m，宽 12 m.

13. 已知$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-2x+k+2=0$的两个实数根.
(1) 求$k$的取值范围.
(2) 是否存在实数$k$,使得等式$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=k-2$成立? 如果存在,请求出$k$的值;如果不存在,请说明理由.

答案：
(1) $\because$ 一元二次方程 $x ^ { 2 } - 2 x + k + 2 = 0$ 有两个实数根，$\therefore \Delta = ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times ( k + 2 ) \geq 0$，$\therefore k \leq - 1$.
(2) $\because x _ { 1 }$，$x _ { 2 }$ 是一元二次方程 $x ^ { 2 } - 2 x + k + 2 = 0$ 的两个实数根，$\therefore x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2$，$x _ { 1 } x _ { 2 } = k + 2$.$\because \frac { 1 } { x _ { 1 } } + \frac { 1 } { x _ { 2 } } = \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { x _ { 1 } x _ { 2 } } = \frac { 2 } { k + 2 } = k - 2$，$\therefore k ^ { 2 } - 6 = 0$，解得 $k _ { 1 } = - \sqrt { 6 }$，$k _ { 2 } = \sqrt { 6 }$. 又 $k \leq - 1$，$\therefore k = - \sqrt { 6 }$.$\therefore$ 存在实数 $k = - \sqrt { 6 }$，使得等式 $\frac { 1 } { x _ { 1 } } + \frac { 1 } { x _ { 2 } } = k - 2$ 成立.