《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

13. 如图，在$\triangle ABC$中，$∠ACB=90^{\circ },AC=BC$，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，$∠PCQ=90^{\circ }$.试探究$PA^{2},PB^{2},PQ^{2}$三者之间的数量关系，并加以证明.

答案：
PA² + PB² = PQ²。证明：如右图，过点C作CD⊥AB，交AB于点D，
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴CD = AD = DB。
∵PA² = (AD - PD)² = (CD - PD)² = CD² - 2CD·PD + PD²，PB² = (BD + PD)² = (CD + PD)² = CD² + 2CD·PD + PD²，
∴PA² + PB² = 2CD² + 2PD² = 2(CD² + PD²)。在Rt△PCD中，由勾股定理，得PC² = CD² + PD²，
∴PA² + PB² = 2PC²。又
∵△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ = 90°，
∴2PC² = PQ²，
∴PA² + PB² = PQ²。