《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

7. 已知方程$x^{2}-2024x+1=0$的两实数根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，则$x_{1}^{2}-\frac{2024}{x_{2}}$的值为______.

答案： -1

8. 关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2mx+m^{2}-m=0$的两实数根$x_{1}$，$x_{2}$满足$x_{1}x_{2}=2$，则$(x_{1}^{2}+2)(x_{2}^{2}+2)$的值是______.

答案： 32

9. 关于$x$的方程$mx^{2}+x-m+1=0$，有以下三个结论：①当$m=0$时，方程只有一个实数根；②当$m\neq0$时，方程有两个不相等的实数根；③无论$m$取何值，方程都有一个负数解.其中正确的是______.（填序号）

答案： ①③

10. 已知关于$x$的方程①$x^{2}-(1-2a)x+a^{2}-3=0$有两个不相等的实数根，且关于$x$的方程②$x^{2}-2x+2a-1=0$没有实数根.当$a$取什么整数时，方程①有整数解？

答案： $a = 3$

11. 小明用表格中的方法求出方程$2\sqrt{x}-3=0$的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中.
|方程|用换元法得新方程|解新方程|检验|求原方程的解|
|----|----|----|----|----|
|$2\sqrt{x}-3=0$|令$\sqrt{x}=t$，则$2t-3=0$|$t=\frac{3}{2}$|$t=\frac{3}{2}＞0$|$\sqrt{x}=\frac{3}{2}$，所以$x=\frac{9}{4}$|
|$x+2\sqrt{x}-3=0$| | | | |
|$x+\sqrt{x-2}-4=0$| | | | |

答案： 方程：$x + 2 \sqrt { x } - 3 = 0$，用换元法得新方程：令$ \sqrt { x } = t $，则$ t ^ { 2 } + 2 t - 3 = 0$，解新方程：$ t _ { 1 } = 1 $，$ t _ { 2 } = - 3$，检验：$ t _ { 1 } = 1 ＞ 0 $，$ t _ { 2 } = - 3 ＜ 0 $（舍），求原方程的解：$ \sqrt { x } = 1 $，$ \therefore x = 1$；
方程：$x + \sqrt { x - 2 } - 4 = 0$，用换元法得新方程：令$ \sqrt { x - 2 } = t $，则$ t ^ { 2 } + t - 2 = 0$，解新方程：$ t _ { 1 } = 1 $，$ t _ { 2 } = - 2$，检验：$ t _ { 1 } = 1 ＞ 0 $，$ t _ { 2 } = - 2 ＜ 0 $（舍），求原方程的解：$ \sqrt { x - 2 } = 1 $，$ \therefore x = 3$。