《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

12. 观察下列各式：
$\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}=1+\frac{1}{1\times2}$；
$\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}=1+\frac{1}{2\times3}$；
$\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}=1+\frac{1}{3\times4}$；
……
请利用你所发现的规律，计算$\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{9^{2}}+\frac{1}{10^{2}}}$的值。

答案： $9\frac{9}{10}$ 解析：$\sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}} + \cdots + \sqrt{1 + \frac{1}{9^2} + \frac{1}{10^2}} = 1 + \frac{1}{1 \times 2} + 1 + \frac{1}{2 \times 3} + 1 + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + 1 + \frac{1}{9 \times 10} = 9 + (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{9} - \frac{1}{10}) = 9 + \frac{9}{10} = 9\frac{9}{10}$。

13. 比较$\sqrt{11}-\sqrt{10}$与$\sqrt{15}-\sqrt{14}$的大小，可以采用如下方法：
$\because\sqrt{11}-\sqrt{10}=\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$，$\sqrt{15}-\sqrt{14}=\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}$，而$\sqrt{11}+\sqrt{10}＜\sqrt{15}+\sqrt{14}$，
$\therefore\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}＞\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}$，即$\sqrt{11}-\sqrt{10}＞\sqrt{15}-\sqrt{14}$。
根据上述方法，试比较$\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$与$\sqrt{2023}-\sqrt{2022}$的大小。

答案： $\sqrt{2024} - \sqrt{2023} ＜ \sqrt{2023} - \sqrt{2022}$