《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

11. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，$DE// AC,CE// BD$。
(1) 求证：四边形OCED是菱形；
(2) 若$BC=3,DC=2$，求四边形OCED的面积。

答案：
(1)
∵ DE // AC, CE // BD,
∴ 四边形 OCED 是平行四边形. 又在矩形 ABCD 中, OC = OD,
∴ 平行四边形 OCED 是菱形.
(2) $S_{矩形ABCD} = BC \cdot DC = 3 \times 2 = 6$,
∴ $S_{\triangle OCD} = \frac{1}{4}S_{矩形ABCD} = \frac{1}{4} \times 6 = \frac{3}{2}$,
∴ $S_{菱形OCED} = 2S_{\triangle OCD} = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.

12. 如图，已知点D在$△ABC$的BC边上，$DE// AC$交AB于点E，$DF// AB$交AC于点F。
(1) 求证：$AE=DF$；
(2) 若AD平分$∠BAC$，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由。

答案：
(1)
∵ DE // AC, DF // AB,
∴ 四边形 AEDF 是平行四边形,
∴ AE = DF.
(2) 四边形 AEDF 是菱形. 理由如下:
∵ DE // AC, DF // AB,
∴ 四边形 AEDF 是平行四边形.
∵ AD 平分 ∠BAC,
∴ ∠DAB = ∠DAC. 又
∵ DF // AB,
∴ ∠DAB = ∠ADF,
∴ ∠DAF = ∠ADF,
∴ DF = AF,
∴ 平行四边形 AEDF 为菱形.

13. 如图，在$△ABC$中，D是AB上一点，$DE⊥AC$于点E，F是AD的中点，$FG⊥BC$于点G，与DE交于点H，若$FG=AF$，AG平分$∠CAB$，连接GE，GD。
(1) 求证：$△ECG\cong △GHD$；
(2) 小亮同学经过探究发现：$AD=AC+EC$。请你帮助小亮同学证明这一结论；
(3) 若$∠B=30^{\circ }$，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由。

答案：
(1)
∵ AF = FG,
∴ ∠GAF = ∠AGF, 又 AG 平分 ∠CAB,
∴ ∠GAF = GAE,
∴ ∠AGF = ∠GAE,
∴ FG // AE,
∴ ∠FHE = $90^{\circ}$. 又 AF = FD,
∴ EH = HD,
∴ FH 是 ED 的垂直平分线,
∴ EG = DG. 而四边形 ECGH 是矩形,
∴ EC = GH,
∴ $Rt\triangle ECG \cong Rt\triangle GHD$.
(2) 如题图, 过点 G 作 GP ⊥ AB 于点 P,
∴ $\triangle CAG \cong \triangle PAG$,
∴ AC = AP, GC = GP. 由
(1) 可得 EG = DG,
∴ $Rt\triangle ECG \cong Rt\triangle DPG$,
∴ EC = DP,
∴ AD = AP + PD = AC + EC.
(3)
∵ ∠B = $30^{\circ}$,
∴ ∠ADE = $30^{\circ}$,
∴ AE = $\frac{1}{2}$AD,
∴ AE = AF = FG. 又四边形 AEGF 是平行四边形,
∴ 四边形 AEGF 是菱形.