《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

5. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如下图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若$a = 3$，$b = 4$，则该矩形的面积为( ).

A. $20$
B. $24$
C. $\frac { 99 } { 4 }$
D. $\frac { 53 } { 2 }$

答案： B

6. 如下左图，$\angle A O B = 60 ^ { \circ }$，点$C$在$OB$上，$O C = 2 \sqrt { 3 }$，$P$为$\angle A O B$内一点.根据图中尺规作图痕迹推断，点$P$到$OA$的距离为______.

答案： 1

7. 如上右图所示的网格是正方形网格，则$\angle P A B + \angle P B A =$______(点$A$，$B$，$P$均是网格线交点).

答案： 45°

8. 如下左图，$\triangle A B C$的顶点$B$，$C$的坐标分别是$( 1,0 )$，$( 0 , \sqrt { 3 } )$，且$\angle A B C = 90 ^ { \circ }$，$\angle A = 30 ^ { \circ }$，则顶点$A$的坐标为______.

答案： (4, $\sqrt{3}$)

9. 如上右图，在$\triangle A B C$中，点$E$在边$AC$上，$E B = E A$，$\angle A = 2 \angle C B E$，$CD$垂直于$BE$，交其延长线于点$D$，$B D = 8$，$A C = 11$，则边$BC$的长为______.

答案：
$4\sqrt{5}$ [提示:如右图，延长BD到点F,使得DF=BD.
∵CD⊥BF,
∴△BCF是等腰三角形,
∴BC=CF,
∴∠CBE=∠F,过点C作CH//AB,
交BF于点H,
∴∠ABD=∠CHD,∠A=∠ACH.而EB=EA,
∴∠A=∠ABD,
∴∠ACH=∠CHD,
∴EC=EH,
∴AC=BH.又∠CHD=∠A=2∠CBD=2∠F,
∴HF=HC.
∵BD=8,AC=11,
∴DH=BH−BD=AC−BD=3,
∴HF=HC=8−3
=5.在Rt△CDH中,由勾股定理,知CD=$\sqrt{CH²−DH²}$=$\sqrt{5²−3²}$=4.在Rt△BCD中,
BC=$\sqrt{8²+4²}$=4$\sqrt{5}$