《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

11. 如图,在边长为6的正方形ABCD中,M为对角线BD上的一点,连接AM并延长交CD于点P,若PM=PC,求AM的长.

答案：
如图，以点 B 为原点，BC，BA 所在的直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，由正方形的边长为 6，可知 A(0,6)，D(6,6)，C(6,0)，直线 BD 的解析式为 y = x. 设 M(m,m)，得直线 AM 的解析式为 y = $\frac{m - 6}{m}x + 6$，
∴P(6,$\frac{12m - 36}{m}$). 由 PM = PC，有$(m - 6)^2 + (m - \frac{12m - 36}{m})^2 = (\frac{12m - 36}{m})^2$，解得 m = 9 + 3$\sqrt{3}$（不符合题意，舍去）或 m = 9 - 3$\sqrt{3}$. 故 M(9 - 3$\sqrt{3}$,9 - 3$\sqrt{3}$)，从而求出 AM = 6($\sqrt{3}$ - 1).

12. 如图,在$\triangle ABC$中,AD$\perp$BC,垂足为点D,BD=CD,延长BC至点E,使得CE=CA,连接AE.
(1) 求证:$\angle B=\angle ACB$;
(2) 若AB=5,AD=4,求$\triangle ABE$的周长和面积.

答案：
(1) 略 提示：证明 $\triangle ADB \cong \triangle ADC$.
(2) 周长：16 + 4$\sqrt{5}$；面积：22.