《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

11. 已知直角三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$c ＞ a ＞ b$.分别以$a$，$b$，$c$为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为$S_{1}$，均重叠部分的面积为$S_{2}$.试判断$S_{1}$与$S_{2}$的大小关系，并说明理由.

答案： S1 = S2。理由如下：
∵S1 = c² - a² - (b² - S2)，a，b，c为直角三角形的三边长，且c ＞ a ＞ b，
∴c² = a² + b²，
∴S1 = c² - a² - b² + S2 = S2。

12. 如图，网格中小正方形的边长均为$1$，$\triangle ABC$的三个顶点都在小正方形的格点上.
（1）请判断$\triangle ABC$是否是直角三角形，并说明理由；
（2）求点$C$到边$AB$的距离；
（3）借助网格，利用无刻度的直尺画出$BC$边上的中线$AD$.

答案：

(1) 不是直角三角形，理由：由题意，得BC = √(3² + 1²) = √10，AC = √(2² + 1²) = √5，AB = √(2² + 3²) = √13，
∵AB² ≠ AC² + BC²，
∴△ABC不是直角三角形。
(2) 设点C到边AB的距离为h，由
(1)可得AB = √13。又△ABC的面积为1/2AB·h = 3×3 - 1/2×1×2 - 1/2×1×3 - 1/2×2×3，
∴1/2×√13h = 7/2，解得h = 7√13/13。
∴点C到边AB的距离为7√13/13。
(3) 根据边BC的特点找到矩形BFCE，连接EF，则BC与EF交于一点D，即D为BC的中点，连接AD，如图所示， 则AD为BC边上的中线。

13. 如图，某工程队准备从$A$到$B$修建一条隧道，测量员在直线$AB$的同一侧选定$C$，$D$两个观测点，测得$AC$长为$\frac{3}{2}\sqrt{2}km$，$CD$长为$\frac{3}{4}(\sqrt{2} + \sqrt{6})km$，$BD$长为$\frac{3}{2}km$，$\angle ACD = 60^{\circ}$，$\angle CDB = 135^{\circ}$（$A$，$B$，$C$，$D$在同一水平面内）.
（1）求$A$，$D$两点间的距离；
（2）求隧道$AB$的长.

答案：

(1) 如图， 过A点作AE⊥CD于点E，则∠AEC = ∠AED = 90°。
∵∠ACD = 60°，
∴∠CAE = 30°。
∴CE = 1/2AC = 3/4√2(km)，AE = √3CE = 3/4√6(km)。
∴DE = CD - CE = 3/4(√2 + √6) - 3/4√2 = 3/4√6(km)，
∴AE = DE，
∴△ADE是等腰直角三角形。
∴AD = √2AE = √2×3/4√6 = 3√3/2(km)。
(2) 由
(1)得△ADE是等腰直角三角形，且AD = 3√3/2(km)，∠ADE = 45°。
∵∠CDB = 135°，
∴∠ADB = 135° - 45° = 90°。
∴AB = √(AD² + BD²) = √((3√3/2)² + (3/2)²) = 3(km)，即隧道AB的长为3km。