《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

12. 已知三角形的两边长分别为3和5,第三边长为$c$,化简:$\sqrt { c ^ { 2 } - 4 c + 4 } - \sqrt { \frac { 1 } { 4 } c ^ { 2 } - 4 c + 16 }$.

答案： 原式 $=\frac{3}{2}c - 6$。

13. 阅读下面材料:
将边长分别为$a$,$a + \sqrt { b }$,$a + 2 \sqrt { b }$,$a + 3 \sqrt { b }$的正方形的面积分别记为$S _ { 1 }$,$S _ { 2 }$,$S _ { 3 }$,$S _ { 4 }$,则$S _ { 2 } - S _ { 1 } = ( a + \sqrt { b } ) ^ { 2 } - a ^ { 2 } = b + 2 a \sqrt { b }$.例如:当$a = 1$,$b = 3$时,$S _ { 2 } - S _ { 1 } = 3 + 2 \sqrt { 3 }$.
根据以上材料解答下列问题:
(1) 当$a = 1$,$b = 3$时,$S _ { 3 } - S _ { 2 } =$____,$S _ { 4 } - S _ { 3 } =$____.
(2) 当$a = 1$,$b = 3$时,把边长为$a + n \sqrt { b }$的正方形的面积记作$S _ { n + 1 }$,其中$n$是正整数,从(1)中的计算结果,你能猜出$S _ { n + 1 } - S _ { n }$等于多少吗? 并证明你的猜想.
(3) 当$a = 1$,$b = 3$时,令$t _ { 1 } = S _ { 2 } - S _ { 1 }$,$t _ { 2 } = S _ { 3 } - S _ { 2 }$,$t _ { 3 } = S _ { 4 } - S _ { 3 }$,$\cdots$,$t _ { n } = S _ { n + 1 } - S _ { n }$,且$T = t _ { 1 } + t _ { 2 } + t _ { 3 } + \cdots + t _ { 50 }$,求$T$的值.

答案：
(1) $9 + 2\sqrt{3}$；$15 + 2\sqrt{3}$
(2) $S_{n + 1} - S_n = 6n - 3 + 2\sqrt{3}$。 证明：$S_{n + 1} - S_n = (1 + \sqrt{3}n)^2 - [1 + \sqrt{3}(n - 1)]^2 = [2 + \sqrt{3}(2n - 1)] \times \sqrt{3} = 6n - 3 + 2\sqrt{3}$。
(3) 当 $a = 1$，$b = 3$ 时，$T = t_1 + t_2 + t_3 + \cdots + t_{50} = S_2 - S_1 + S_3 - S_2 + S_4 - S_3 + \cdots + S_{51} - S_{50} = S_{51} - S_1 = (1 + 50\sqrt{3})^2 - 1 = 7500 + 100\sqrt{3}$。