《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

11. 数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式的求值问题：
已知实数 $ a $，$ b $ 同时满足 $ a^{2} + 2a = b + 2 $，$ b^{2} + 2b = a + 2 $，求代数式 $ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} $ 的值。

结合他们的对话，请解答下列问题：
(1) 当 $ a = b $ 时，$ a $ 的值是 ；
(2) 当 $ a \neq b $ 时，代数式 $ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} $ 的值是 。

答案：
(1) 1 或 - 2
(2) 7 [提示：
∵ $ \left\{ \begin{array} { l } { a ^ { 2 } + 2 a = b + 2 , \quad ① } \\ { b ^ { 2 } + 2 b = a + 2 , \quad ② } \end{array} \right. $ ① - ②，得 $ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } + 3 a - 3 b = 0 $，
∴ $ ( a - b ) ( a + b + 3 ) = 0 $.
∴ $ a - b = 0 $ 或 $ a + b + 3 = 0 $. ① + ② 得 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 4 - a - b $. (ⅰ) 当 $ a = b $ 时，得 $ a ^ { 2 } + a - 2 = 0 $，解得 $ a _ { 1 } = 1 $，$ a _ { 2 } = - 2 $，
∴ $ a $ 的值是 1 或 - 2. (ⅱ) 当 $ a \neq b $ 时，则 $ a + b + 3 = 0 $，即 $ a + b = - 3 $.
∵ $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 4 - a - b $，
∴ $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 7 $.
∵ $ ( a + b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } = 9 $，
∴ $ a b = 1 $.
∴ $ \frac { b } { a } + \frac { a } { b } = \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { a b } = \frac { 7 } { 1 } = 7 $.]

12. $ \sqrt{2} $ 是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $ \sqrt{2} $ 的小数部分无法全部写出来，但是我们可以想办法把它表示出来。因为 $ 1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2 $，所以 $ \sqrt{2} $ 的整数部分为 1，将 $ \sqrt{2} $ 减去其整数部分后，得到的差就是其小数部分，于是 $ \sqrt{2} $ 的小数部分为 $ \sqrt{2} - 1 $。
根据上面文字，请解答下列问题：
(1) $ \sqrt{5} $ 的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2) 设 $ 7 + \sqrt{10} $ 的小数部分为 $ a $，$ 7 - \sqrt{10} $ 的小数部分为 $ b $。若 $ (x + 1)^{2} = a + b $，求 $ x $ 的值。

答案：
(1) 2；$ \sqrt { 5 } - 2 $
(2) $ a = \sqrt { 10 } - 3 $，$ b = 4 - \sqrt { 10 } $，
∴ $ a + b = 1 $，
∴ $ ( x + 1 ) ^ { 2 } = 1 $，
∴ $ x + 1 = \pm 1 $，
∴ $ x _ { 1 } = 0 $，$ x _ { 2 } = - 2 $.