《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

8. 关于$x$的方程$x^{2}-(1-2k)x+k^{2}+k=0$,当$k$____时,方程有两个不相等的实数根;当$k$____时,方程有两个相等的实数根;当$k$____时,方程没有实数根.

答案： $＜\frac{1}{8}$；$=\frac{1}{8}$；$＞\frac{1}{8}$

9. 关于$x$的方程$x^{2}+mx-2n=0$的两根之和为-4,两根之积为3,则$m+n$的值为____.

答案： $\frac{5}{2}$

10. 已知关于$x$的一元二次方程$kx^{2}-(2k+4)x+k-6=0$有两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围;
(2)当$k=1$时,用配方法解方程.

答案：
(1) $k ＞ -\frac{2}{5}$且$k \neq 0$。
(2) 当$k = 1$时，原方程为$x^{2} - 6x - 5 = 0$，即$x^{2} - 6x + 9 = 14$。$\therefore (x - 3)^{2} = 14$，$\therefore x = 3 \pm \sqrt{14}$，即方程的根为$x_{1} = 3 + \sqrt{14}$，$x_{2} = 3 - \sqrt{14}$。

11. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4mx+3m^{2}=0$.
(1)求证:该方程总有两个实数根;
(2)若$m＞0$,且该方程两个实数根的差为2,求$m$的值.

答案：
(1) $\Delta = 4m^{2} \geq 0$，$\therefore$该方程总有两个实数根。
(2) 设关于$x$的一元二次方程$x^{2} - 4mx + 3m^{2} = 0$的两个实数根为$x_{1}$，$x_{2}$，则有$x_{1} + x_{2} = 4m$，$x_{1}x_{2} = 3m^{2}$。又$|x_{1} - x_{2}| = 2$，$\therefore (x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2} = 16m^{2} - 12m^{2} = 4$，$\therefore m = \pm 1$。$\because m ＞ 0$，$\therefore m = 1$。