《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

12. 蜂巢的结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点$P$，$Q$的坐标分别为$(-2\sqrt {3},3)$，$(0,-3)$，求点$M$的坐标.

答案：
如图, 连接 PF, 设正六边形的边长为 a.
∵ ∠ABC = 120°,
∴ ∠ABO = 60°. 又 ∠AOB = 90°,
∴ ∠BAO = 30°.
∴ OB = $\frac{1}{2}a$, OA = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$.

∴ AC = CE = $\sqrt{3}a$, OF = OB + BF = $\frac{3}{2}a$.
∵ 点 P 的坐标为 (-2$\sqrt{3}$, 3),
∴ $\frac{3}{2}a = 3$, 即 a = 2.
∴ OE = OC + CE = $\frac{3\sqrt{3}a}{2} = 3\sqrt{3}$, EM = 2,
∴ 点 M 的坐标为 (3$\sqrt{3}$, -2).

13. 如图，菱形$ABCD$的边长为4，$∠ABC=60^{\circ }$，点$E$是$CD$的中点，点$M$是$AC$上一动点，求$MD+ME$的最小值.

答案：
如图, 连接 BD, BE, BE 与 AC 交于点 M, 过点 E 作 EG ⊥ BC, 交 BC 的延长线于点 G.

∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ B 点与 D 点关于 AC 对称,
∴ BM = DM,
∴ MD + ME = BM + ME = BE.
∵ BC = 4, 点 E 是 CD 的中点,
∴ CE = 2.
∵ ∠ABC = 60°,
∴ ∠ECG = 60°. 在 Rt△CEG 中, CE = 2, ∠ECG = 60°,
∴ CG = 1, EG = $\sqrt{3}$. 在 Rt△BEG 中, BG = 5, EG = $\sqrt{3}$,
∴ BE = 2$\sqrt{7}$,
∴ MD + ME 的最小值为 2$\sqrt{7}$.