《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

12. 某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了$420$元，购买围棋用了$756$元，已知每副围棋比每副象棋贵$8$元.
（1）求每副围棋和象棋各是多少元.
（2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共$40$副，且再次购买的费用不超过$600$元，则该校最多可再购买多少副围棋？

答案： （1）每副围棋 18 元，每副象棋 10 元. （2）该校最多可再购买 25 副围棋.

13. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB=6\mathrm{cm}$，$AD=2\mathrm{cm}$，动点$P$，$Q$分别从点$A$，$C$同时出发，点$P$以$2\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度向终点$B$移动，点$Q$以$1\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度向点$D$移动，当有一动点到达终点时，另一动点也停止运动.设运动的时间为$t\mathrm{s}$，问：

（1）当$t$为何值时，点$P$和点$Q$之间的距离是$3\mathrm{cm}$？
（2）当$t$为何值时，以点$P$，$Q$，$D$为顶点的三角形是以$PQ$为腰的等腰三角形？

答案：
（1）如图 1，作$ QE \perp AB $于点$ E $，$ \therefore \angle PEQ = 90 ^ { \circ } $。$ \because \angle B = \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore $四边形$ BCQE $是矩形，$ \therefore QE = BC = 2 $，$ BE = CQ = t $。$ \because AP = 2t $，$ \therefore PE = 6 - 2t - t = 6 - 3t $，在$ \mathrm { Rt } \triangle PQE $中，由勾股定理，得$ ( 6 - 3t ) ^ { 2 } + 4 = 9 $，解得$ t _ { 1 } = \frac { 6 - \sqrt { 5 } } { 3 } $，$ t _ { 2 } = \frac { 6 + \sqrt { 5 } } { 3 } $。

如图 2，作$ PE \perp CD $于点$ E $，$ \therefore \angle PEQ = 90 ^ { \circ } $，$ PE = BC = 2 $，$ BP = CE = 6 - 2t $，$ CQ = t $，$ \therefore QE = t - ( 6 - 2t ) = 3t - 6 $。在$ \mathrm { Rt } \triangle PEQ $中，由勾股定理，得$ ( 3t - 6 ) ^ { 2 } + 4 = 9 $，解得$ t _ { 1 } = \frac { 6 - \sqrt { 5 } } { 3 } $，$ t _ { 2 } = \frac { 6 + \sqrt { 5 } } { 3 } $。
综上所述$ t _ { 1 } = \frac { 6 - \sqrt { 5 } } { 3 } $，$ t _ { 2 } = \frac { 6 + \sqrt { 5 } } { 3 } $。

（2）如图 3，当$ PQ = DQ $时，作$ QE \perp AB $于点$ E $，$ \therefore \angle PEQ = 90 ^ { \circ } $。$ \because \angle B = \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore $四边形$ BCQE $是矩形，$ \therefore QE = BC = 2 $，$ BE = CQ = t $。$ \because AP = 2t $，$ \therefore PE = 6 - 2t - t = 6 - 3t $，$ DQ = 6 - t $。$ \because PQ = DQ $，$ \therefore PQ = 6 - t $。在$ \mathrm { Rt } \triangle PQE $中，由勾股定理，得$ ( 6 - 3t ) ^ { 2 } + 4 = ( 6 - t ) ^ { 2 } $，解得$ t _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 7 } } { 2 } $，$ t _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 7 } } { 2 } $。

如图 4，当$ PD = PQ $时，作$ PE \perp DQ $于$ E $，$ \therefore DE = QE = \frac { 1 } { 2 } QD $，$ \angle PED = 90 ^ { \circ } $。$ \because \angle A = \angle ADE = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore $四边形$ ADEP $是矩形，$ \therefore AP = DE $。$ \because DQ = 6 - t $，$ \therefore DE = \frac { 1 } { 2 } ( 6 - t ) $，$ \therefore 2t = \frac { 1 } { 2 } ( 6 - t ) $，解得$ t = \frac { 6 } { 5 } $。
综上所述，$ t = \frac { 3 + \sqrt { 7 } } { 2 } $，$ \frac { 3 - \sqrt { 7 } } { 2 } $，$ \frac { 6 } { 5 } $。