《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

10. 先化简,再求值:$5 \sqrt { \frac { x } { 5 } } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 20 x } - \frac { 5 x } { 4 } \sqrt { \frac { 4 } { 5 x } }$,其中$x = \frac { 1 } { 3 }$.

答案： 原式 $=\frac{3}{2}\sqrt{5x}$；当 $x = \frac{1}{3}$ 时，原式 $=\frac{\sqrt{15}}{2}$。

11. 阅读下列各式及其验证过程:
①$2 \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } = \sqrt { 2 + \frac { 2 } { 3 } }$.
验证:$2 \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } = \sqrt { \frac { 2 ^ { 3 } } { 3 } } = \sqrt { \frac { ( 2 ^ { 3 } - 2 ) + 2 } { 2 ^ { 2 } - 1 } } = \sqrt { \frac { 2 ( 2 ^ { 2 } - 1 ) + 2 } { 2 ^ { 2 } - 1 } } = \sqrt { 2 + \frac { 2 } { 3 } }$.
②$3 \sqrt { \frac { 3 } { 8 } } = \sqrt { 3 + \frac { 3 } { 8 } }$.
验证:$3 \sqrt { \frac { 3 } { 8 } } = \sqrt { \frac { 3 ^ { 3 } } { 8 } } = \sqrt { \frac { ( 3 ^ { 3 } - 3 ) + 3 } { 3 ^ { 2 } - 1 } } = \sqrt { \frac { 3 ( 3 ^ { 2 } - 1 ) + 3 } { 3 ^ { 2 } - 1 } } = \sqrt { 3 + \frac { 3 } { 8 } }$.
(1) 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想$4 \sqrt { \frac { 4 } { 15 } }$的变形结果并进行验证;
(2) 针对上述各式反映的规律,写出用$n$($n$为自然数,且$n \geq 2$)表示的等式,并给出证明.

答案：
(1) $4\sqrt{\frac{4}{15}} = \sqrt{4 + \frac{4}{15}}$，验证略。
(2) $n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}} = \sqrt{n + \frac{n}{n^2 - 1}}$（$n \geq 2$，且 $n$ 为自然数），证明略。