《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

9. 已知关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0)$的系数满足$a+c=b$,则此方程必有一根为____.

答案： -1

10. 用公式法解下列方程:
(1)$x^{2}+x-1=0$;
(2)$2x(x-2)=3$;
(3)$x^{2}+2(\sqrt{3}+1)x=-2\sqrt{3}$;
(4)$\sqrt{2}x^{2}+4\sqrt{3}x+6\sqrt{2}=0$.

答案：
(1) $x _ { 1 } = \frac { - 1 + \sqrt { 5 } } { 2 }$，$x _ { 2 } = \frac { - 1 - \sqrt { 5 } } { 2 }$
(2) $x _ { 1 } = \frac { 2 + \sqrt { 10 } } { 2 }$，$x _ { 2 } = \frac { 2 - \sqrt { 10 } } { 2 }$
(3) $x _ { 1 } = 1 - \sqrt { 3 }$，$x _ { 2 } = - 3 - \sqrt { 3 }$
(4) $x _ { 1 } = x _ { 2 } = - \sqrt { 6 }$

11. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2m-1)x-3m^{2}+m=0$.
(1) 求证:无论$m$为何值,方程总有实数根;
(2) 若$x_{1},x_{2}$是方程的两个实数根,且$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=-\frac{5}{2}$,求$m$的值.

答案：
(1) 证明：$\because \Delta = [ - ( 2 m - 1 ) ] ^ { 2 } - 4 \times 1 \times ( - 3 m ^ { 2 } + m ) = 16 m ^ { 2 } - 8 m + 1 = ( 4 m - 1 ) ^ { 2 } \geq 0$，$\therefore$ 无论 $m$ 为何值，原方程总有实数根.
(2) 由题意，知 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2 m - 1$，$x _ { 1 } x _ { 2 } = - 3 m ^ { 2 } + m$.$\because \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } + \frac { x _ { 1 } } { x _ { 2 } } = \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } } { x _ { 1 } x _ { 2 } } = \frac { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } } { x _ { 1 } x _ { 2 } } - 2 = - \frac { 5 } { 2 }$，$\therefore \frac { ( 2 m - 1 ) ^ { 2 } } { - 3 m ^ { 2 } + m } - 2 = - \frac { 5 } { 2 }$，整理得，$5 m ^ { 2 } - 7 m + 2 = 0$，解得 $m = 1$ 或 $m = \frac { 2 } { 5 }$.