《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

13. 如图1，四边形 $ABCD$ 是正方形，点 $G$ 是 $BC$ 边上任意一点，$DE\perp AG$ 于点 $E$，$BF\perp AG$ 于点 $F$。
(1) 求证：$DE - BF = EF$；
(2) 当点 $G$ 为 $BC$ 边的中点时，试探究线段 $EF$ 与 $GF$ 之间的数量关系，并说明理由；
(3) 若点 $G$ 为 $CB$ 延长线上一点，其余条件不变，请你在图2中画出图形，写出此时 $DE$，$BF$，$EF$ 之间的数量关系(不需要证明)。

答案：
(1) 先证 $ \triangle ADE \cong \triangle BAF $，$ \therefore AE = BF $，$ DE = AF $，$ \therefore DE - BF = AF - AE = EF $。
(2) $ EF = 2FG $。理由如下：设 $BG = a$，则 $AB = 2a$，$ \therefore AG = \sqrt{a^{2} + (2a)^{2}} = \sqrt{5}a $，$ \therefore BF = \frac{2a \times a}{\sqrt{5}a} = \frac{2\sqrt{5}}{5}a $，$ GF = \sqrt{a^{2} - \frac{4}{5}a^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{5}a $，$ DE = AF = \sqrt{4a^{2} - \frac{4}{5}a^{2}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}a $，由
(1) $ EF = DE - BF = \frac{2\sqrt{5}}{5}a $，$ \therefore EF = 2GF $。
(3) 画图略，$ DE + BF = EF $。