《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

8. 如下左图，在$△ABC$中，BD，CE是中线，$BD⊥CE$于点O，点M，N分别是OB，OC的中点。若$OB=8,OC=6$，则四边形DEMN的周长是______cm。

答案： 20

9. 如上右图，在菱形ABCD中，$∠B=60^{\circ }$，E是BC的中点，连接AE，DE。点F是DE上一动点，G为AF的中点，连接CG。
(1)$∠BAE=$______；
(2)若$AB=2$，则CG的最小值为______。

答案：

(1) $30^{\circ}$
(2) $\frac{2\sqrt{21}}{7}$ [提示:
(1) 如图 1, 连接 AC,
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ AB = BC,
∵ ∠B = $60^{\circ}$,
∴ $\triangle ABC$ 为等边三角形,
∴ ∠BAC = $60^{\circ}$.
∵ 点 E 是 BC 的中点,
∴ AE 平分 ∠BAC,
∴ ∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $30^{\circ}$.
(2) 如图 2, 设 AD 的中点为 T, AE 的中点为 H, 连接 GT, GH, CH, CT, AC. 过点 C 作 CK ⊥ GH 于点 K,
∵ 点 G 为 AF 的中点,
∴ GT 为 $\triangle ADF$ 的中位线, GH 为 $\triangle AEF$ 的中位线,
∴ GT // DE, GH // DE,
∴ 点 T, G, H 在同一条直线上. 当点 F 在 DE 上运动时, 点 G 在 TH 上运动, 根据垂线段最短, 得当点 G 与点 K 重合时, CG 最短, 即最短距离为线段 CK 的长.
∵ 四边形 ABCD 为菱形, AB = 2, ∠B = $60^{\circ}$,
∴ AB = BC = CD = AD = 2, ∠B = ∠ADC = $60^{\circ}$, AD // BC,
∴ $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADC$ 均为等边三角形.
∵ 点 E 为 BC 的中点, 点 T 为 AD 的中点,
∴ AE ⊥ BC, CT ⊥ AD, BE = CE = 1, AT = DT = 1,
∴ AE ⊥ AD, CT ⊥ BC,
∴ 四边形 AECT 为矩形,
∴ AE = CT, AT = CE = 1. 在 $Rt\triangle ABE$ 中, 由勾股定理, 得 AE = $\sqrt{AB^{2} - BE^{2}} = \sqrt{3}$,
∴ CT = AE = $\sqrt{3}$.
∵ 点 H 为 AE 的中点,
∴ AH = $\frac{1}{2}$AE = $\frac{\sqrt{3}}{2}$. 在 $Rt\triangle AHT$ 中, 由勾股定理, 得 TH = $\sqrt{AH^{2} + AT^{2}} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} + 1^{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$. 由三角形的面积公式, 得 $S_{\triangle CHT} = \frac{1}{2}TH \cdot CK = \frac{1}{2}CT \cdot CE$, 即 $\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{7}}{2} \times CK = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1$,
∴ CK = $\frac{2\sqrt{21}}{7}$,
∴ CG 的最小值为 $\frac{2\sqrt{21}}{7}$. ]

10. 如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得$AE=CF$。连接DE，DF，BE，BF。求证：四边形BEDF是菱形。

答案：
证明: 如右图, 连接 BD, 交 AC 于点 O,
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ OA = OC, OB = OD, AC ⊥ BD.
∵ AE = CF,
∴ OE = OF,
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形.
∵ EF ⊥ BD,
∴ 四边形 BEDF 是菱形.