《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

11. 如图，四边形 $ABCD$ 是正方形，$G$ 是 $BC$ 上任意一点(点 $G$ 与点 $B$，$C$ 不重合)，$AE \perp DG$ 于点 $E$，$CF // AE$ 交 $DG$ 于点 $F$。
(1) 在图中找出一对全等三角形，并加以证明；
(2) 试说明 $AE = FC + EF$。

答案： 11.
(1)略　
(2)
∵ $ \triangle AED \cong \triangle DFC $，
∴ $ AE = DF $，$ ED = FC $。
∵ $ DF = DE + EF $，
∴ $ AE = FC + EF $。

12. 如图，在 $\square ABCD$ 中，$AB = 2$，$BC = 4$，$\angle ABC = 60^{\circ}$。$E$，$F$ 分别是 $BC$，$AD$ 上的点，且 $BE = DF$，连接 $AE$，$BF$，交于点 $G$，连接 $DE$，$CF$，交于点 $H$。
(1) 求证：四边形 $GEHF$ 是平行四边形；
(2) 若 $E$，$F$ 分别是 $BC$，$AD$ 上的动点，设 $BE = DF = x$，试推断：当 $x$ 等于多少时，四边形 $GEHF$ 是矩形？

答案： 12.
(1)略　
(2) $ x = 2 $ 时，四边形 $ GEHF $ 是矩形。