《2025年暑假作业八年级数学沪科版黄山书社》

8. 若$\alpha$，$\beta$是方程$x^{2}+2x-2025=0$的两个实数根，则$\alpha^{2}+3\alpha+\beta=$____。

答案： 2023

9. 如果$a$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-x-2m+6=0$的一个根，$-a$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}+x-m=0$的一个根，则$m$的值是____。

答案： 6

10. 解方程：$x^{2}+x+2x\sqrt{x+2}=14$。

答案： 原方程变形为 $x^{2}+2x\sqrt {x+2}+(\sqrt {x+2})^{2}=16$，$\therefore x+\sqrt {x+2}=\pm 4$。若 $x+\sqrt {x+2}=4$，即 $x^{2}-9x+14=0$，$\therefore x_{1}=2$，$x_{2}=7$（增根，舍去）；若 $x+\sqrt {x+2}=-4$，即 $x^{2}+7x+14=0$，$\Delta ＜0$，无实数解。故原方程的解是 $x=2$。

11. 用配方法证明：不论$x$取何值时，代数式$x^{2}-x+1$的值总大于$0$。当$x$取何值时，代数式$x^{2}-x+1$的值最小？最小值是多少？

答案： $x^{2}-x+1=(x-\frac {1}{2})^{2}+\frac {3}{4}\geqslant \frac {3}{4}＞0$。当 $x=\frac {1}{2}$ 时，代数式 $x^{2}-x+1$ 的值最小，最小值为 $\frac {3}{4}$。