《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

1. 在半径为 $ R $ 的圆中，$ n^{\circ} $ 的圆心角所对的弧长 $ l $ 的计算公式为：$ l = $$\frac{n\pi R}{180}$。

答案： $\frac{n\pi R}{180}$

例 1 如图所示，$ AB $ 为 $ \odot O $ 的一条弦，$ AB = 5\sqrt{2} $，$ \angle ACB = 45^{\circ} $，求 $ \overset{\frown}{AB} $ 的长。
解：如图所示，连结 $ OA $，$ OB $。
$ \because \angle ACB = 45^{\circ} $，$ \therefore \angle AOB = $90°。
$ \because OA = OB $，$ \therefore \angle OAB = 45^{\circ} $。
又 $ AB = 5\sqrt{2} $，$ \therefore $ 在 $ \text{Rt} \triangle AOB $ 中，$ OA^{2} + OB^{2} = AB^{2} $，
$ \therefore OA = \frac{\sqrt{2}}{2}AB = \frac{\sqrt{2}}{2} × 5\sqrt{2} = $5，$ \therefore \overset{\frown}{AB} $ 的长 $ = \frac{90\pi \cdot OA}{180} = $$\frac{5\pi}{2}$。

答案： 解：如图所示，连结 $ OA $，$ OB $。
$ \because \angle ACB = 45^{\circ} $，$ \therefore \angle AOB = 90^{\circ} $。
$ \because OA = OB $，$ \therefore \angle OAB = 45^{\circ} $。
又 $ AB = 5\sqrt{2} $，$ \therefore $ 在 $ \text{Rt} \triangle AOB $ 中，$ OA^{2} + OB^{2} = AB^{2} $，
$ \therefore OA = \frac{\sqrt{2}}{2}AB = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 5\sqrt{2} = 5 $，$ \therefore \overset{\frown}{AB} $ 的长 $ = \frac{90\pi \cdot OA}{180} = \frac{5\pi}{2} $。

例 2 如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ \angle B = 70^{\circ} $，$ BC = 6 $，以 $ AD $ 为直径的 $ \odot O $ 交 $ CD $ 于点 $ E $，求 $ \overset{\frown}{DE} $ 的长。
解：如图，连结 $ OE $。
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
$ \therefore \angle D = \angle B = 70^{\circ} $，$ AD = BC = 6 $，$ \therefore OA = OD = 3 $。
$ \because OD = OE $，$ \therefore \angle OED = \angle D = 70^{\circ} $，
$ \therefore \angle DOE = 180^{\circ} - 2 × 70^{\circ} = 40^{\circ} $，
$ \therefore l_{\overset{\frown}{DE}} = \frac{40\pi × 3}{180} = $$\frac{2}{3}\pi$。

答案： 解：如图，连结 $ OE $。
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
$ \therefore \angle D = \angle B = 70^{\circ} $，$ AD = BC = 6 $，$ \therefore OA = OD = 3 $。
$ \because OD = OE $，$ \therefore \angle OED = \angle D = 70^{\circ} $，
$ \therefore \angle DOE = 180^{\circ} - 2 \times 70^{\circ} = 40^{\circ} $，
$ \therefore l_{\overset{\frown}{DE}} = \frac{40\pi \times 3}{180} = \frac{2}{3}\pi $。

例 3 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $，$ B $，$ C $ 的坐标分别为 $ (-1,3) $，$ (-4,1) $，$ (-2,1) $，先将 $ \triangle ABC $ 沿一确定的方向平移得到 $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $，此时点 $ B $ 的对应点 $ B_{1} $ 的坐标是 $ (1,2) $，再将 $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $ 绕原点 $ O $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ \triangle A_{2}B_{2}C_{2} $，点 $ A_{1} $ 的对应点为点 $ A_{2} $。
(1) 画出 $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $；
(2) 画出 $ \triangle A_{2}B_{2}C_{2} $；
(3) 求出在这两次变换的过程中，点 $ A $ 经过点 $ A_{1} $ 到达点 $ A_{2} $ 的路径总长。

答案：
【解析】：
1. 对于平移，根据点$B(-4,1)$平移后得到$B_1(1,2)$，可知平移规律是向右平移$1 - (-4)=5$个单位，向上平移$2 - 1 = 1$个单位。
点$A(-1,3)$按此规律平移后得到$A_1(-1 + 5,3 + 1)$即$A_1(4,4)$，点$C(-2,1)$平移后得到$C_1(-2 + 5,1 + 1)$即$C_1(3,2)$，从而画出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$。
2. 对于旋转，根据旋转的性质，将$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$绕原点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$，根据旋转坐标变化规律（点$(x,y)$绕原点顺时针旋转$90^{\circ}$后变为$(y,-x)$），$A_1(4,4)$旋转后得到$A_2(4,-4)$，$B_1(1,2)$旋转后得到$B_2(2,-1)$，$C_1(3,2)$旋转后得到$C_2(2,-3)$，从而画出$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$。
3. 计算路径总长，平移的距离根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，$A(-1,3)$到$A_1(4,4)$的距离为$\sqrt{(4 - (-1))^{2}+(4 - 3)^{2}}=\sqrt{25 + 1}=\sqrt{26}$。
旋转时，$A_1(4,4)$到原点$O$的距离$OA_1=\sqrt{4^{2}+4^{2}} = 4\sqrt{2}$，旋转弧长根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（$n = 90^{\circ}$，$r = OA_1$），弧长为$\frac{90\pi\times4\sqrt{2}}{180}=2\sqrt{2}\pi$，所以路径总长为平移距离加旋转弧长。
【答案】：

1. 如解图，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求；
2. 如解图，$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$即为所求；
3. $\sqrt{26}+2\sqrt{2}\pi$。