《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

12. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,点$C$在$\odot O$上,延长$BC$至点$D$,使$DC = BC$,延长$DA$与$\odot O$的另一个交点为点$E$,连结$AC,CE$.若$AB = 4$,$BC - AC = 2$,求$CE$的长.

$CE=$$1+\sqrt{7}$

答案： 解：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°，
∴AC⊥BC。
∵DC = CB，
∴AD = AB，
∴∠B = ∠D。设BC = x，则AC = x - 2。在Rt△ABC中，AC² + BC² = AB²，
∴(x - 2)² + x² = 4²，解得x₁ = 1 + $\sqrt{7}$，x₂ = 1 - $\sqrt{7}$(不合题意，舍去)。
∵∠B = ∠E，∠B = ∠D，
∴∠D = ∠E，
∴CD = CE。
∵CD = BC，
∴CE = BC = 1 + $\sqrt{7}$。

13. 如图,点$A$是$\overset{\frown}{MN}$上的一个三等分点,点$B$是$\overset{\frown}{AN}$的中点,点$P$是直径$MN$上的一个动点,$\odot O$的半径为$1$.

(1)找出当$AP + BP$取最小值时,点$P$的位置;
(2)求出$AP + BP$的最小值.

答案：
解：
(1)如图，过点A作弦AA'⊥MN于点E，交⊙O于点A'，连结BA'交MN于点P，连结AP。
∵MN是⊙O的直径，AA'⊥MN，
∴AE = EA'，
∴AP = PA'，即AP + BP = PA' + BP，

∴当A'，P，B三点共线时，AP + BP取最小值，此时点P位于A'B与MN的交点处；
(2)如图，连结OA'，OB。
∵点A是$\overset{\frown}{MN}$上的一个三等分点，$\overset{\frown}{A'N} = \overset{\frown}{AN}$，
∴∠A'ON = ∠AON = $\frac{1}{3}$×180° = 60°。又
∵点B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，
∴∠BON = 30°。
∵∠BOA' = ∠A'ON + ∠BON = 90°。又
∵OB = OA' = 1，
∴A'B = $\sqrt{2}$，即AP + BP的最小值为$\sqrt{2}$。