《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

21. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB$，$BC$，$CA$的中点分别是点$E$，$F$，$G$，$AD$是高。
求证：$\angle EDG = \angle EFG$。
证明：连结$EG$。∵点 $E$，$F$，$G$ 分别是 $AB$，$BC$，$CA$ 的中点，∴$EF$ 为 $\triangle ABC$ 的中位线，∴$EF=\frac{1}{2}AC$（三角形的中位线等于第三边的一半）。∵$AD\perp BC$，∴$\angle ADC = 90^{\circ}$。又 $DG$ 为 $Rt\triangle ADC$ 斜边上的中线，∴$DG=\frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴$DG = EF$。同理$DE = FG$，$EG = GE$，∴$\triangle EFG\cong\triangle GDE$(SSS)，∴$\angle EDG=\angle EFG$。

答案： 证明：连结 $EG$。
∵点 $E$，$F$，$G$ 分别是 $AB$，$BC$，$CA$ 的中点，
∴$EF$ 为 $\triangle ABC$ 的中位线，
∴$EF=\frac{1}{2}AC$（三角形的中位线等于第三边的一半）。
∵$AD\perp BC$，
∴$\angle ADC = 90^{\circ}$。又 $DG$ 为 $Rt\triangle ADC$ 斜边上的中线，
∴$DG=\frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴$DG = EF$。同理 $DE = FG$，$EG = GE$，
∴$\triangle EFG\cong\triangle GDE(SSS)$，
∴$\angle EDG=\angle EFG$。

22. 如图，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$AD = 24\mathrm{cm}$，$BC = 30\mathrm{cm}$，点$P$自点$A$向点$D$以$1\mathrm{cm/s}$的速度运动，到点$D$即停止。点$Q$自点$C$向点$B$以$2\mathrm{cm/s}$的速度运动，到点$B$即停止，直线$PQ$截梯形为两个四边形。问：当点$P$，$Q$同时出发，在几秒时其中一个四边形为平行四边形？

8 s或10 s

答案： 解：设 $P$，$Q$ 同时出发，$t$ s 后四边形 $PDCQ$ 或四边形 $APQB$ 是平行四边形，根据已知得到 $AP = t$，$PD = 24 - t$，$CQ = 2t$，$BQ = 30 - 2t$。①若四边形 $PDCQ$ 是平行四边形，则 $PD = CQ$，
∴$24 - t = 2t$，
∴$t = 8$，
∴8 s 时四边形 $PDCQ$ 是平行四边形；②若四边形 $APQB$ 是平行四边形，则 $AP = BQ$，
∴$t = 30 - 2t$，
∴$t = 10$，
∴10 s 时四边形 $APQB$ 是平行四边形。
∴当 $P$，$Q$ 同时出发，8 s 或 10 s 时其中一个四边形是平行四边形。

23. 如图，$\triangle ABC$是锐角三角形，分别以$AB$，$AC$为边向外侧作等边三角形$ABM$和等边三角形$ACN$，点$D$，$E$，$F$分别是$MB$，$BC$，$CN$的中点，连结$DE$，$FE$。求证：$DE = FE$。
证明：连结$MC$，$BN$。∵$\triangle ABM$ 和 $\triangle ACN$ 都是等边三角形，∴$AM = AB$，$AN = AC$，$\angle MAB=\angle NAC = 60^{\circ}$，∴$\angle MAB+\angle BAC=\angle NAC+\angle BAC$，即 $\angle MAC=\angle BAN$，∴$\triangle MCA\cong\triangle BNA$（SAS），∴$MC = BN$。∵点 $D$，$E$ 分别是 $MB$，$BC$ 边上的中点，∴$DE=\frac{1}{2}MC$。∵点 $F$，$E$ 分别是 $CN$，$BC$ 边上的中点，∴$FE=\frac{1}{2}BN$，∴$DE = FE$。

答案： 证明：连结 $MC$，$BN$。
∵$\triangle ABM$ 和 $\triangle ACN$ 都是等边三角形，
∴$AM = AB$，$AN = AC$，$\angle MAB=\angle NAC = 60^{\circ}$，
∴$\angle MAB+\angle BAC=\angle NAC+\angle BAC$，即 $\angle MAC=\angle BAN$，
∴$\triangle MCA\cong\triangle BNA(SAS)$，
∴$MC = BN$。
∵点 $D$，$E$ 分别是 $MB$，$BC$ 边上的中点，
∴$DE=\frac{1}{2}MC$。
∵点 $F$，$E$ 分别是 $CN$，$BC$ 边上的中点，
∴$FE=\frac{1}{2}BN$，
∴$DE = FE$。

24. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = DC$，点$E$是$AB$边上一点，$CE = AB$，$\angle A + \angle ADC = 180^{\circ}$，$DF\perp BC$，垂足为点$F$，交$CE$于点$G$，连结$DE$，$EF$。
（1）四边形$ABCD$是平行四边形吗？请说明理由；
（2）求证：$\angle AED = 90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle DCE$；
（3）若点$E$是$AB$边的中点，求证：$\angle EFB = \frac{1}{2}\angle DEF$。

答案：

(1) 解：四边形 $ABCD$ 是平行四边形。理由如下：
∵$\angle A+\angle ADC = 180^{\circ}$，
∴$AB// CD$。
∵$AB = CD$，
∴四边形 $ABCD$ 是平行四边形；
(2) 证明：
∵$CE = AB$，$AB = CD$，
∴$CE = CD$。
∴$\angle CDE=\angle CED=\frac{180^{\circ}-\angle DCE}{2}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle DCE$。
∵$AB// CD$，
∴$\angle AED=\angle CDE = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle DCE$；
(3) 如图，延长 $DA$，$FE$ 交于点 $M$。

∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴$AD// BC$。
∴$\angle M=\angle EFB$。
∵点 $E$ 是 $AB$ 边的中点，
∴$AE = BE$。又
∵$\angle AEM=\angle FEB$，
∴$\triangle AEM\cong\triangle BEF(AAS)$，
∴$ME = EF$。
∵$DF\perp BC$，$AD// BC$，
∴$DF\perp DM$，
∴$ME = DE = EF$，
∴$\angle M=\angle MDE$，
∴$\angle DEF=\angle M+\angle MDE = 2\angle M$，
∴$\angle EFB=\frac{1}{2}\angle DEF$。