《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

22. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $ y = \frac { k } { x } ( x ＞ 0 ) $ 的图象和矩形 $ A B C D $ 在第一象限，$ A D $ 平行于 $ x $ 轴，且 $ A B = 2 $，$ A D = 4 $，点 $ A $ 的坐标为 $ ( 2, 6 ) $.
（1）直接写出 $ B $，$ C $，$ D $ 三点的坐标；$B$(2, 4)，$C$(6, 4)，$D$(6, 6)；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的表达式.猜想这是点A，C，矩形的平移距离为3，反比例函数的表达式为$y = \frac{6}{x}$.

答案： 解：
(1)$B(2, 4)$，$C(6, 4)$，$D(6, 6)$；
(2)如图，矩形$ABCD$平移后得到矩形$A'B'C'D'$，由图可知，落在反比例函数图象上的是$A$，$C$两点。设平移距离为$a$，则点$A'(2, 6 - a)$，点$C'(6, 4 - a)$。$\because$点$A'$，$C'$在$y = \frac{k}{x}$的图象上，$\therefore 2(6 - a) = 6(4 - a)$，解得$a = 3$，$\therefore A'(2, 3)$，$\therefore$矩形平移的距离为$3$，反比例函数的表达式为$y = \frac{6}{x}$。

23. 如图，一次函数 $ y = k x + 2 $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac { m } { x } $ 的图象交于点 $ P $，点 $ P $ 在第一象限. $ P A \perp x $ 轴于点 $ A $，$ P B \perp y $ 轴于点 $ B $. 一次函数的图象分别交 $ x $ 轴，$ y $ 轴于点 $ C $，$ D $，且 $ S _ { \triangle P B D } = 4 $，$ O C = O A $.
（1）求点 $ D $ 的坐标；(0, 2)
（2）求一次函数与反比例函数的表达式；$ y = \frac{1}{2}x + 2 $，$ y = \frac{16}{x} $
（3）根据图象写出当 $ x ＞ 0 $ 时，一次函数的值大于反比例函数的值的 $ x $ 的取值范围.$ x ＜ 4 $

答案： 解：
(1)$D(0, 2)$；
(2)$y = \frac{1}{2}x + 2$，$y = \frac{16}{x}$；
(3)$x ＜ 4$。

24. 设点 $ P ( x, 0 ) $ 是 $ x $ 轴上的一个动点，它与原点的距离为 $ y _ { 1 } $.
（1）求 $ y _ { 1 } $ 关于 $ x $ 的函数表达式，并画出这个函数的图象；
（2）若反比例函数 $ y _ { 2 } = \frac { k } { x } $ 的图象与函数 $ y _ { 1 } $ 的图象交于点 $ A $，且点 $ A $ 的横坐标为 2.
①求 $ k $ 的值；
②结合图象，当 $ y _ { 1 } ＞ y _ { 2 } $ 时，写出 $ x $ 的取值范围.

答案：
解：
(1)$\because$点$P(x, 0)$与原点的距离为$y_{1}$，$\therefore$当$x \geqslant 0$时，$y_{1} = OP = x$，当$x ＜ 0$时，$y_{1} = OP = -x$，$\therefore y_{1}$关于$x$的函数表达式为$y = \begin{cases} x, (x \geqslant 0) \\ -x, (x ＜ 0) \end{cases}$，即为$y = |x|$，函数图象如图所示：

(2)①$\because$点$A$的横坐标为$2$，$\therefore$把$x = 2$代入$y = x$，可得$y = 2$，此时$A$为$(2, 2)$，$k = 2 \times 2 = 4$。②当$k = 4$时，由下图可得，当$y_{1} ＞ y_{2}$时，$x ＜ 0$或$x ＞ 2$。