《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

10. 如图，已知 $AB = 2$，点 $C$ 是 $AB$ 的黄金分割点，且 $AC ＜ BC$，点 $D$ 在 $AB$ 上，且 $AD^{2}=BD\cdot AB$，求 $\frac{CD}{AC}$ 的值。

$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

答案： 解：$ \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } $．

11. 如图，以长为 2 的线段 $AB$ 为边作正方形 $ABCD$，取 $AB$ 的中点 $P$，连结 $PD$，在 $BA$ 的延长线上取点 $F$，使 $PF = PD$，以 $AF$ 为边作正方形 $AMEF$，点 $M$ 在 $AD$ 上。
（1）求 $AM$，$DM$ 的长；$AM=$$\sqrt{5}-1$，$DM=$$3-\sqrt{5}$
（2）求证：$AM^{2}=AD\cdot DM$；
（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？点$M$是$AD$的黄金分割点

答案： 解：
(1) $ A M = \sqrt { 5 } - 1 $，$ D M = 3 - \sqrt { 5 } $；
(2) 略；
(3) 点 $ M $ 是 $ A D $ 的黄金分割点．理由如下：$ \because A M ^ { 2 } = A D \cdot D M $，$ \therefore \frac { A M } { A D } = \frac { D M } { A M } = \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } $，$ \therefore $ 点 $ M $ 是 $ A D $ 的黄金分割点．

12. 如图，线段 $AB = 10cm$，点 $C$ 是线段 $AB$ 的黄金分割点，且 $AC ＞ BC$，设以 $AC$ 为边的正方形的面积为 $S_{1}$，以 $BC$ 为一边、$AB$ 长为另一边的矩形 $BCFG$ 的面积为 $S_{2}$。
（1）试求 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的值，并说明 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的关系；
$S_{1}=$$(150 - 50\sqrt{5})\mathrm{cm}^{2}$，$S_{2}=$$(150 - 50\sqrt{5})\mathrm{cm}^{2}$，$S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的关系为$S_{1}=S_{2}$；
（2）若 $AB = a$，则（1）中 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由。
成立，证明如下：$\because AB = a$，点 $C$ 为线段 $AB$ 的黄金分割点，$\therefore \frac{BC}{CA}=\frac{AC}{BA}$（黄金分割的性质），$\therefore AC^{2}=BC× AB$（两内项的积等于两外项的积），$\therefore AC^{2}=(a - AC)× a$，$\therefore AC^{2}=a^{2}-aAC$，即 $AC^{2}+aAC - a^{2}=0$。$\because AC\lt a$，$\therefore AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$，$BC=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}a$，$\therefore S_{1}=AC^{2}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}a^{2}$，$\therefore S_{2}=BG× CB=AB× CB=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}a^{2}$，$\therefore S_{1}=S_{2}$。

答案： 解：
(1) $ S _ { 1 } = ( 150 - 50 \sqrt { 5 } ) \mathrm { cm } ^ { 2 } $，$ S _ { 2 } = ( 150 - 50 \sqrt { 5 } ) \mathrm { cm } ^ { 2 } $，$ S _ { 1 } = S _ { 2 } $；
(2) 成立，证明如下：$ \because A B = a $，点 $ C $ 为线段 $ A B $ 的黄金分割点，$ \therefore \frac { B C } { C A } = \frac { A C } { B A } $（黄金分割的性质），$ \therefore A C ^ { 2 } = B C \times A B $（两内项的积等于两外项的积），$ \therefore A C ^ { 2 } = ( a - A C ) \times a $，$ \therefore A C ^ { 2 } = a ^ { 2 } - a A C $，即 $ A C ^ { 2 } + a A C - a ^ { 2 } = 0 $．$ \because A C ＜ a $，$ \therefore A C = \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } a $，$ B C = \frac { 3 - \sqrt { 5 } } { 2 } a $，$ \therefore S _ { 1 } = A C ^ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 5 } } { 2 } a ^ { 2 } $，$ \therefore S _ { 2 } = B G \times C B = A B \times C B = \frac { 3 - \sqrt { 5 } } { 2 } a ^ { 2 } $，$ \therefore S _ { 1 } = S _ { 2 } $．