《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

1. 要画二次函数$y = ax^{2}(a \neq 0)$的图象，一般采用五点描点法，分为列表、描点、连线三步，并且要用光滑的曲线顺次连结各点。

答案： 列表 描点 连线 光滑

2. 二次函数$y = ax^{2}(a \neq 0)$的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称，顶点是(0,0)，当$a ＞ 0$时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当$a ＜ 0$时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。

答案： 抛物线 y 轴 (0,0) 向上 低 向下 高

3. 抛物线$y = ax^{2}(a \neq 0)$的开口的宽窄由$|a|$决定，$|a|$越大，抛物线的开口越小；$|a|$越小，抛物线的开口越大。

答案： 小 大

例1 (1)在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：
①$y = \frac{1}{4}x^{2}$；②$y = 4x^{2}$；③$y = -\frac{1}{4}x^{2}$；④$y = -4x^{2}$；
(2)从函数表达式、函数对应值表、函数图象三个方面对比，说出函数表达式中二次项系数$a$对抛物线的形状有什么影响？

答案：
解：
(1)列表：
| $x$ | $\cdots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = \frac{1}{4}x^{2}$ | $\cdots$ | $1$ | $\frac{1}{4}$ | $0$ | $\frac{1}{4}$ | $1$ | $\cdots$ |
| $y = 4x^{2}$ | $\cdots$ | $16$ | $4$ | $0$ | $4$ | $16$ | $\cdots$ |
| $y = -\frac{1}{4}x^{2}$ | $\cdots$ | $-1$ | $-\frac{1}{4}$ | $0$ | $-\frac{1}{4}$ | $-1$ | $\cdots$ |
| $y = -4x^{2}$ | $\cdots$ | $-16$ | $-4$ | $0$ | $-4$ | $-16$ | $\cdots$ |
画图如解图；

(2)$y = 4x$与$y = -4x^{2}$形状相同，开口方向不同，关于$x$轴对称；
$|a|$越大，张口越小；
$a ＞ 0$，开口向上，$a ＜ 0$，开口向下；
$y = ax^{2}$顶点是$(0,0)$，对称轴是$y$轴。

例2 已知抛物线$y = ax^{2}$经过点$A(-1,-2)$。
(1)说出这条抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；
(2)判断点$B(2,-4)$是否在该抛物线上；
(3)求出此抛物线上纵坐标为$-6$的点的坐标。

答案： 解：
(1)把点$A(-1,-2)$代入$y = ax^{2}$，得$-2 = a\times(-1)^{2}$，$\therefore a = -2$。
$\therefore$抛物线的表达式为$y = -2x^{2}$，
$\therefore$这条抛物线的对称轴是$y$轴，顶点坐标是$(0,0)$，开口向下；

(2)把$x = 2$代入$y = -2x^{2}$，得$y = -2\times2^{2} = -8 \neq -4$，
$\therefore$点$B(2,-4)$不在该抛物线上；

(3)由$-6 = -2x^{2}$，得$x = \pm\sqrt{3}$，
$\therefore$此抛物线上纵坐标为$-6$的点有两个，分别为$(\sqrt{3},-6)$，$(-\sqrt{3},-6)$。