《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

24. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：$3 + 2 \sqrt { 2 } = ( 1 + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$，善于思考的小明进行了下列探索：
设$a + b \sqrt { 2 } = ( m + n \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$（其中$a$，$b$，$m$，$n$均为正整数），则有$a + b \sqrt { 2 } = m ^ { 2 } + 2 n ^ { 2 } + 2 m n \sqrt { 2 }$，
$\therefore a = m ^ { 2 } + 2 n ^ { 2 }$，$b = 2 m n$.
这样小明就找到一种把部分$a + b \sqrt { 2 }$的式子化作平方式的方法.
请仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当$a$，$b$，$m$，$n$均为正整数时，若$a + b \sqrt { 3 } = ( m + n \sqrt { 3 } ) ^ { 2 }$，用含有$m$，$n$的式子分别表示$a$，$b$，可得$a =$$m^{2} + 3n^{2}$，$b =$$2mn$；
（2）利用所探索的结论找一组正整数$a$，$b$，$m$，$n$填空：
21$+$12$\sqrt { 3 } =$（3$+$2$\sqrt { 3 }$）$^ { 2 }$；（答案不唯一）
（3）若$a + 4 \sqrt { 3 } = ( m + n \sqrt { 3 } ) ^ { 2 }$，且$a$，$m$，$n$均为正整数，求$a$的值.
解：由题意，得 $\begin{cases} a = m^{2} + 3n^{2}, \\ 4 = 2mn. \end{cases}$ $\because 4 = 2mn$，且 $m$，$n$ 为正整数，$\therefore m = 2$，$n = 1$ 或 $m = 1$，$n = 2$，$\therefore a = 2^{2} + 3 × 1^{2} = 7$ 或 $a = 1^{2} + 3 × 2^{2} = 13$.

答案： 解：
(1) $ m^{2} + 3n^{2} $ $ 2mn $
(2) 21 12 3 2(答案不唯一)
(3) 由题意，得 $ \begin{cases} a = m^{2} + 3n^{2}, \\ 4 = 2mn. \end{cases} $ $ \because 4 = 2mn $，且 $ m $，$ n $ 为正整数，$ \therefore m = 2 $，$ n = 1 $ 或 $ m = 1 $，$ n = 2 $，$ \therefore a = 2^{2} + 3 \times 1^{2} = 7 $ 或 $ a = 1^{2} + 3 \times 2^{2} = 13 $。