《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

3. 如果把 $ad = bc$ 写成比例式，那么在下列式子中，错误的是（D）
A. $a:b = c:d$
B. $a:c = b:d$
C. $b:a = d:c$
D. $b:d = c:a$

答案： D

4. 若 $\frac{y}{x}=\frac{3}{4}$，则 $\frac{x + y}{x}$ 的值为（D）
A. $1$
B. $\frac{4}{7}$
C. $\frac{5}{4}$
D. $\frac{7}{4}$

答案： D

5. 如果 $a,b,c,d$ 满足 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么下列等式中，不一定成立的是（C）
A. $\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d}$
B. $\frac{a - b}{b}=\frac{c - d}{d}$
C. $\frac{a + c}{b + d}=\frac{a}{d}$
D. $\frac{a - b}{a + b}=\frac{c - d}{c + d}$

答案： C

6. 若 $2a = 3b = 4c$，且 $abc\neq0$，则 $\frac{a + b}{c - 2b}$ 的值是（B）
A. $2$
B. $-2$
C. $3$
D. $-3$

答案： B

7. 若 $\frac{n + m}{n}=\frac{11}{8}$，则 $\frac{m}{n}=$$\frac{3}{8}$。

答案： $\frac{3}{8}$

8. 若 $a:b = 3:4$，且 $a + b = 14$，则 $2a - b$ 的值为4。

答案： 4

9. 求下列各式中 $x$ 的值。
(1) $\frac{x + 1}{2}=\frac{x}{3}$；$x=$-3
(2) $x:(x + 2)=(2 - x):3$。$x_1=$-4，$x_2=$1

答案： $(1)$ 求解$\frac{x + 1}{2}=\frac{x}{3}$
解：
根据等式的性质，给等式$\frac{x + 1}{2}=\frac{x}{3}$两边同时乘以$6$（$2$和$3$的最小公倍数）去分母得：
$6×\frac{x + 1}{2}=6×\frac{x}{3}$
即$3(x + 1)=2x$。
去括号：根据乘法分配律$a(b+c)=ab+ac$，这里$a = 3$，$b=x$，$c = 1$，得到$3x+3 = 2x$。
移项：把含有$x$的项移到等号一边，常数项移到等号另一边，$3x-2x=-3$。
合并同类项：$(3 - 2)x=-3$，即$x=-3$。
$(2)$ 求解$x:(x + 2)=(2 - x):3$
解：
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，由$x:(x + 2)=(2 - x):3$可得：
$3x=(x + 2)(2 - x)$。
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，这里$a = 2$，$b = x$，则$(x + 2)(2 - x)=4-x^{2}$，所以原方程变为$3x=4-x^{2}$。
移项化为一元二次方程的一般形式：$x^{2}+3x - 4=0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），这里$a = 1$，$b = 3$，$c=-4$，分解因式得$(x + 4)(x - 1)=0$。
则$x + 4=0$或$x - 1=0$。
解得$x=-4$或$x = 1$。
综上，$(1)$中$x$的值为$-3$；$(2)$中$x$的值为$-4$或$1$。

10. 已知非零实数 $x,y,z$ 满足 $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$，求 $\frac{x^{2}+xy}{yz}$ 的值。$\frac{5}{6}$

答案： 解：设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k(k\neq0)$，则$x = 2k$，$y = 3k$，$z = 4k$。
将$x = 2k$，$y = 3k$，$z = 4k$代入$\frac{x^{2}+xy}{yz}$可得：
$\begin{aligned}&\frac{(2k)^{2}+2k×3k}{3k×4k}\\=&\frac{4k^{2}+6k^{2}}{12k^{2}}\\=&\frac{10k^{2}}{12k^{2}}\\=&\frac{5}{6}\end{aligned}$
所以$\frac{x^{2}+xy}{yz}$的值为$\frac{5}{6}$。

11. 若 $\frac{a + 2}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c + 5}{6}$，且 $2a - b + 3c = 21$，求 $4a - 3b + c$ 的值。-1

答案： 解：设$\frac{a + 2}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c + 5}{6}=k$，则$a = 3k - 2$，$b = 4k$，$c = 6k - 5$。
将$a = 3k - 2$，$b = 4k$，$c = 6k - 5$代入$2a - b + 3c = 21$，得：
$2(3k - 2) - 4k + 3(6k - 5) = 21$
$6k - 4 - 4k + 18k - 15 = 21$
$(6k - 4k + 18k) = 21 + 4 + 15$
$20k = 40$
$k = 2$
所以$a = 3×2 - 2 = 4$，$b = 4×2 = 8$，$c = 6×2 - 5 = 7$。
则$4a - 3b + c = 4×4 - 3×8 + 7 = 16 - 24 + 7 = -1$。
综上，$4a - 3b + c$的值为$-1$。

12. 已知 $a,b,c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长，$\frac{a + 4}{3}=\frac{b + 3}{2}=\frac{c + 8}{4}$，且 $a + b + c = 12$，试判断 $\triangle ABC$ 的形状为直角三角形。

答案： 解：设$\frac{a + 4}{3}=\frac{b + 3}{2}=\frac{c + 8}{4}=k$，则$a = 3k - 4$，$b = 2k - 3$，$c = 4k - 8$。
因为$a + b + c = 12$，所以$(3k - 4)+(2k - 3)+(4k - 8)=12$，
$3k - 4 + 2k - 3 + 4k - 8 = 12$，
$9k - 15 = 12$，
$9k = 27$，
解得$k = 3$。
所以$a = 3×3 - 4 = 5$，$b = 2×3 - 3 = 3$，$c = 4×3 - 8 = 4$。
因为$b^{2}+c^{2}=3^{2}+4^{2}=9 + 16 = 25$，$a^{2}=5^{2}=25$，所以$b^{2}+c^{2}=a^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，$\triangle ABC$是直角三角形。

13. 已知 $\frac{a}{b + c}=\frac{b}{a + c}=\frac{c}{a + b}=k$，求 $k$ 的值为$-1$或$\frac{1}{2}$。

答案： 解：
当$a + b + c\neq0$时，
由$\frac{a}{b + c}=\frac{b}{a + c}=\frac{c}{a + b}=k$，根据等比性质$\frac{m_1}{n_1}=\frac{m_2}{n_2}=\cdots=\frac{m_n}{n_n}=k$（$n_1 + n_2+\cdots + n_n\neq0$），则$\frac{m_1 + m_2+\cdots + m_n}{n_1 + n_2+\cdots + n_n}=k$。
所以$k=\frac{a + b + c}{(b + c)+(a + c)+(a + b)}=\frac{a + b + c}{2(a + b + c)}=\frac{1}{2}$。
当$a + b + c = 0$时，$b + c=-a$，
因为$\frac{a}{b + c}=k$，把$b + c=-a$代入$\frac{a}{b + c}=k$中，得$k=\frac{a}{-a}=-1$。
综上，$k$的值为$\frac{1}{2}$或$-1$。