《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

1. 我们把形如$ y = ax^{2} + bx + c $(其中$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$)的函数叫作二次函数，称$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。

答案： $ y = ax^{2} + bx + c $ 二次项系数 一次项系数 常数项

2. 建立二次函数模型的步骤：
(1)审清题意，找出实际问题中的已知量、未知量，将文字、图形语言转化为数学符号语言；
(2)找出等量关系；
(3)列出表达式：设出表示变量的字母，把等量关系用含字母的式子替换。

答案：
(2)等量关系
(3)表达式

例1 下列函数中，是二次函数的是 (A)
A. $y=3-2x^{2}$ B. $y=x^{2}-\frac{1}{x}$ C. $y=(x-3)^{2}-x^{2}$ D. $y=x^{3}-2x^{2}+1$

答案： A

例2 把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项。
(1)$y=x^{2}+(x+1)^{2}$；一般形式为$y = 2x^{2}+2x + 1$，二次项系数为2，一次项系数为2，常数项为1；
(2)$y=(2x+3)(x-1)+5$；一般形式为$y = 2x^{2}+x + 2$，二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为2。

答案： 【解析】：
(1)先根据完全平方公式将$(x + 1)^2$展开，再合并同类项得到一般形式，进而确定各项系数。$y=x^{2}+(x+1)^{2}=x^{2}+x^{2}+2x+1=2x^{2}+2x+1$，所以一般形式为$y = 2x^{2}+2x + 1$，二次项系数为$2$，一次项系数为$2$，常数项为$1$。
(2)先根据多项式乘法法则计算$(2x + 3)(x - 1)$，再合并同类项得到一般形式，进而确定各项系数。$y=(2x+3)(x-1)+5=2x^{2}-2x+3x-3+5=2x^{2}+x+2$，所以一般形式为$y = 2x^{2}+x + 2$，二次项系数为$2$，一次项系数为$1$，常数项为$2$。
【答案】：
(1)一般形式为$y = 2x^{2}+2x + 1$，二次项系数为$2$，一次项系数为$2$，常数项为$1$；
(2)一般形式为$y = 2x^{2}+x + 2$，二次项系数为$2$，一次项系数为$1$，常数项为$2$。

例3 若函数$y=(k+2)x^{k^{2}-2}$是$y$关于$x$的二次函数，则$k$的值是多少？

答案： 【解析】：因为函数$y=(k + 2)x^{k^{2}-2}$是$y$关于$x$的二次函数，根据二次函数的定义，自变量的最高次数为$2$且二次项系数不为$0$。所以可得$\left\{\begin{array}{l}k^{2}-2 = 2\\k + 2\neq 0\end{array}\right.$，解$k^{2}-2 = 2$，移项可得$k^{2}=4$，则$k=\pm2$；又因为$k + 2\neq 0$，即$k\neq - 2$，综合可得$k = 2$。
【答案】：$2$

例4 已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$，当$x=0$时，$y=-2$；当$x=1$时，$y=0$；当$x=2$时，$y=4$，求二次函数的表达式。
二次函数的表达式为$y=$$x^{2}+x-2$。

答案： 【解析】：本题可根据已知条件，将$x$与$y$的对应值代入二次函数$y = ax^{2} + bx + c$中，得到关于$a$、$b$、$c$的三元一次方程组，然后求解该方程组，进而得到二次函数的表达式。
把$x = 0$，$y = - 2$；$x = 1$，$y = 0$；$x = 2$，$y = 4$分别代入$y = ax^{2} + bx + c$，可得$\begin{cases}c = - 2\\a + b + c = 0\\4a + 2b + c = 4\end{cases}$。
将$c = - 2$代入$a + b + c = 0$，可得$a + b - 2 = 0$，即$a + b = 2$ ①；
将$c = - 2$代入$4a + 2b + c = 4$，可得$4a + 2b - 2 = 4$，即$4a + 2b = 6$，化简得$2a + b = 3$ ②；
用②式减去①式消去$b$可得：$(2a + b)-(a + b)=3 - 2$，即$2a + b - a - b = 1$，解得$a = 1$；
把$a = 1$代入①式可得：$1 + b = 2$，解得$b = 1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}a = 1\\b = 1\\c = - 2\end{cases}$。
【答案】：二次函数的表达式为$y = x^{2} + x - 2$。