《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

1. 我们把 $a,b,c,d$ 四个实数成比例表示成 $a:b = c:d$ 或$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，其中 $b,c$ 称为内项，$a,d$ 称为外项。

答案： $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ 内项 外项

2. $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow$$ad = bc$($a,b,c,d$ 都不为 $0$)。

答案： $ad = bc$

例 1 下列各组数中的四个数能否构成一个比例式？如果能，请写出一个比例式；如果不能，请说明理由。
(1) $2,-6,9,-3$；(2) $\sqrt{5},\sqrt{10},\sqrt{15},\sqrt{3}$。

答案： 【解析】：
(1) 要判断四个数能否构成比例式，可看其中两个数的比值是否等于另外两个数的比值。对于$2$，$-6$，$9$，$-3$，计算$\frac{-6}{9}=-\frac{2}{3}$，$\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}$，比值相等，所以这四个数成比例。
(2) 对于$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{15}$，$\sqrt{3}$，计算$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$，$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\neq\frac{\sqrt{15}}{5}$，即任意两个数的比值都不等于另外两个数的比值，所以这四个数不成比例。
【答案】：
(1) 能。可以表示为$\frac{2}{-3}=\frac{-6}{9}$；
(2) 不能。因为任意两个数的比值都不等于另外两个数的比值，所以$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{15}$，$\sqrt{3}$不成比例。

例 2 已知 $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}(x,y,z\neq0)$，则 $\frac{x^{2}+xy}{yz}=$$\frac{5}{6}$。

答案： $\frac{5}{6}$

例 3 已知 $x:y:z = 2:3:4$，则 $\frac{3x + 2y - z}{x + y + z}=$$\frac{8}{9}$。

答案： $\frac{8}{9}$

例 4 已知 $\frac{a + b}{c}=\frac{b + c}{a}=\frac{c + a}{b}=k$，求 $k$ 的值。
解：$\because\frac{a + b}{c}=\frac{b + c}{a}=\frac{c + a}{b}=k,\therefore a + b = ck$①，$b + c = ak$②，$c + a = bk$③。由① + ② + ③，得 $2(a + b + c)=k(a + b + c),\therefore(k - 2)(a + b + c)=0$。当 $k - 2 = 0$ 时，$k=$2；当 $a + b + c = 0$ 时，$a + b = -c,\therefore k=\frac{a + b}{c}=\frac{-c}{c}=$-1。综上所述，$k$ 的值是2或-1。

答案： 解：$\because\frac{a + b}{c}=\frac{b + c}{a}=\frac{c + a}{b}=k,\therefore a + b = ck$①，$b + c = ak$②，$c + a = bk$③。由① + ② + ③，得 $2(a + b + c)=k(a + b + c),\therefore(k - 2)(a + b + c)=0$。当 $k - 2 = 0$ 时，$k = 2$；当 $a + b + c = 0$ 时，$a + b = -c,\therefore k=\frac{a + b}{c}=\frac{-c}{c}=-1$。综上所述，$k$ 的值是 $2$ 或 $-1$。

1. 下列各组数中，成比例的是（A）
A. $-6,-8,3,4$
B. $-7,-5,14,5$
C. $3,5,9,12$
D. $2,3,6,12$

答案： A

2. 若 $2x = 3y(y\neq0)$，则下列结论中，成立的是（A）
A. $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$
B. $\frac{x}{3}=\frac{2}{y}$
C. $\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$
D. $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$

答案： A