《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

二次函数 $ y = ax ^ { 2 } + bx + c ( a \neq 0 ) $，当 $ a ＞ 0 $（或 $ a ＜ 0 $）时，当 $ x $$＜-\frac{b}{2a}$时，$ y $随 $ x $的增大而减小（或增大），当 $ x $$＞-\frac{b}{2a}$时，$ y $随 $ x $的增大而增大（或减小）。当 $ x $$=-\frac{b}{2a}$时，$ y $达到最小（或最大）值：$ y = $$\frac{4ac - b^2}{4a}$。当$b^2 - 4ac ＞ 0$时，抛物线与 $ x $轴有两个交点；当$b^2 - 4ac = 0$时，抛物线与 $ x $轴只有一个交点；当$b^2 - 4ac ＜ 0$时，抛物线与 $ x $轴没有交点。

答案： $＜-\frac{b}{2a}$ $＞-\frac{b}{2a}$ $=-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac - b^2}{4a}$ $b^2 - 4ac ＞ 0$ $b^2 - 4ac = 0$ $b^2 - 4ac ＜ 0$

例 1 已知二次函数 $ y = ax ^ { 2 } + bx + c ( a \neq 0 ) $的图象经过点 $ A ( - 1,12 ) $，$ B ( 2, - 3 ) $，对称轴为直线 $ x = 3 $。
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)作出这个二次函数的大致图象；
(3)当 $ x $在什么范围内取值时，$ y $随 $ x $的增大而增大？

答案：
解：
(1)设 $ y = a ( x - 3 ) ^ { 2 } + k ( a \neq 0 ) $，将 $ A ( - 1,12 ) $，$ B ( 2, - 3 ) $代入，得
$ \left\{ \begin{array} { l } { 16 a + k = 12, } \\ { a + k = - 3, } \end{array} \right. $解得$ \left\{ \begin{array} { l } { a = 1, } \\ { k = - 4, } \end{array} \right. $$ \therefore y = ( x - 3 ) ^ { 2 } - 4 $，即 $ y = x ^ { 2 } - 6 x + 5 $；

(2)由 $ x = 0 $，得 $ y = 5 $，即图象与 $ y $轴的交点坐标为 $ ( 0,5 ) $。
由 $ y = 0 $，得 $ x ^ { 2 } - 6 x + 5 = 0 $，解得 $ x _ { 1 } = 1 $，$ x _ { 2 } = 5 $。
$ \therefore $图象与 $ x $轴的交点是 $ ( 1,0 ) $，$ ( 5,0 ) $。
函数 $ y = x ^ { 2 } - 6 x + 5 $的大致图象如解图所示；

(3)当 $ x \geqslant 3 $时，$ y $随 $ x $的增大而增大。

例 2 已知抛物线 $ y = x ^ { 2 } - ( m + 4 ) x + 4 m $与 $ y $轴交于点 $ C $。
(1)求证：此抛物线与 $ x $轴必有交点；
(2)当与 $ x $轴只有一个交点（设为 $ A $）时，求过 $ A $，$ C $两点的直线的表达式。

答案： 【解析】：1. 对于抛物线$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，当$\Delta\geqslant0$时，抛物线与$x$轴有交点。在抛物线$y = x^{2}-(m + 4)x + 4m$中，$a = 1$，$b=-(m + 4)$，$c = 4m$，计算$\Delta=(m + 4)^{2}-4\times1\times4m=m^{2}+8m + 16-16m=(m - 4)^{2}$，因为任何数的平方都大于等于$0$，即$(m - 4)^{2}\geqslant0$，所以$\Delta\geqslant0$，此抛物线与$x$轴必有交点。
2. 当抛物线与$x$轴只有一个交点时，$\Delta = 0$，即$(m - 4)^{2}=0$，解得$m = 4$。把$m = 4$代入抛物线表达式$y = x^{2}-(m + 4)x + 4m$中，得到$y = x^{2}-8x + 16$。令$y = 0$，则$x^{2}-8x + 16 = 0$，根据完全平方公式$(x - 4)^{2}=0$，解得$x = 4$，所以$A(4,0)$。对于抛物线$y = x^{2}-8x + 16$，令$x = 0$，则$y = 16$，所以$C(0,16)$。设直线$AC$的表达式为$y=kx + b$，把$A(4,0)$，$C(0,16)$代入$y=kx + b$中，可得$\begin{cases}0 = 4k + b\\16 = b\end{cases}$，将$b = 16$代入$0 = 4k + b$得$0 = 4k+16$，解得$k=-4$，所以直线$AC$的表达式为$y=-4x + 16$。
【答案】：1. 证明过程见解析 2. $y = - 4x + 16$

例 3 二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c ( a \neq 0 ) $的图象如图所示，给出下列四个结论：① $ 4 a c - b ^ { 2 } ＜ 0 $；② $ 4 a + c ＜ 2 b $；③ $ 3 b + 2 c ＜ 0 $；④ $ m ( a m + b ) + b ＜ a ( m \neq 9 - 1 ) $。其中正确结论的个数有（B）

A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个

答案： B