《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

18. 如图，已知在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且$DE⊥AB$，$AB=8cm$，求：
（1）$∠ABC$的度数为$120^{\circ}$；
（2）对角线AC的长为$8\sqrt{3}cm$；
（3）菱形ABCD的面积为$32\sqrt{3}cm^{2}$.

答案： 解：
(1) 连结 $BD$ 交 $AC$ 于点 $O$。
∵四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴ $AD = AB$。
∵点 $E$ 是 $AB$ 的中点，$DE \perp AB$，
∴ $AD = DB$，
∴ $ \triangle ABD$ 是等边三角形，
∴ $ \triangle DBC$ 也是等边三角形，
∴ $ \angle ABC = 2 \times 60^{\circ} = 120^{\circ}$；
(2)
∵四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴ $AC$ 与 $BD$ 互相垂直平分，
∴ $OB = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} AB = 4 \text{ cm}$，
∴ $OA = \sqrt{AB^{2} - OB^{2}} = 4 \sqrt{3} \text{ cm}$，
∴ $AC = 2OA = 8 \sqrt{3} \text{ cm}$；
(3) $S_{\text{菱形}ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} \times 8 \times 8 \sqrt{3} = 32 \sqrt{3} (\text{cm}^{2})$。

19. 如图，已知点D在$\triangle ABC$的BC边上，$DE// AC$交AB于点E，$DF// AB$交AC于点F.
（1）求证：$AE=DF$；
证明：∵ $DE // AC$，$DF // AB$，∴四边形 $AEDF$ 是平行四边形，∴ $AE = DF$；
（2）若AD平分$∠BAC$，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.
解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵ $AD$ 平分 $ \angle BAC$，∴ $ \angle EAD = \angle DAF$。又∵ $AE // DF$，∴ $ \angle EAD = \angle ADF$。∵ $ \angle DAF = \angle ADF$，∴ $AF = DF$。又∵四边形 $AEDF$ 是平行四边形，∴ $ □ AEDF$ 是菱形。

答案：
(1) 证明：
∵ $DE // AC$，$DF // AB$，
∴四边形 $AEDF$ 是平行四边形，
∴ $AE = DF$；
(2) 解：
∵ $AD$ 平分 $ \angle BAC$，
∴ $ \angle EAD = \angle DAF$。又
∵ $AE // DF$，
∴ $ \angle EAD = \angle ADF$。
∵ $ \angle DAF = \angle ADF$，
∴ $AF = DF$。又
∵四边形 $AEDF$ 是平行四边形，
∴ $ \square AEDF$ 是菱形。

20. 如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连结EB，ED.
（1）求证：$\triangle BEC\cong \triangle DEC$；
（2）延长BE交AD于点F，$∠DEB=140^{\circ }$，求$∠AFE$的度数.
(1) 证明：∵点 $E$ 是正方形 $ABCD$ 对角线上的点，∴ $ \angle DCE = \angle BCE = 45^{\circ}$。又∵ $CD = CB$，$CE = CE$，∴ $ \triangle BEC \cong \triangle DEC$(SAS)；
(2) 解：由(1)得 $ \angle DEC = \angle CEB = \frac{1}{2} \angle DEB = 70^{\circ}$，∴ $ \angle CBE = $65°。又∵ $AD // BC$，∴ $ \angle AFE = \angle CBE = $65°。

答案：
(1) 证明：
∵点 $E$ 是正方形 $ABCD$ 对角线上的点，
∴ $ \angle DCE = \angle BCE = 45^{\circ}$。又
∵ $CD = CB$，$CE = CE$，
∴ $ \triangle BEC \cong \triangle DEC$；
(2) 解：由
(1)得 $ \angle DEC = \angle CEB = \frac{1}{2} \angle DEB = 70^{\circ}$，
∴ $ \angle CBE = 65^{\circ}$。又
∵ $AD // BC$，
∴ $ \angle AFE = \angle CBE = 65^{\circ}$。