《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

24. 在边长为4的正方形ABCD中，点M，N分别是边BC，CD上的动点，且$BM=CN$.
（1）如图1，连结AM和BN，交于点P，求证：$AM⊥BN$；
（2）如图2，连结AM和BN，交于点P，连结DP，若点M是BC上的中点，求DP的长；
（3）如图3，连结BN，DM，则$BN+DM$的最小值为______4√5（请直接写出结果）.

答案：
(1) 证明：
∵四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AB = BC$，$ \angle ABC = \angle BCD = 90^{\circ}$，又
∵ $BM = CN$，
∴ $ \triangle ABM \cong \triangle BCN (\text{SAS})$，
∴ $ \angle BAM = \angle CBN$。
∵ $ \angle CBN + \angle ABN = 90^{\circ}$，
∴ $ \angle ABN + \angle BAM = 90^{\circ}$，
∴ $ \angle AOB = 90^{\circ}$，
∴ $AM \perp BN$；
(2) 解：如图 1，延长 $BN$，交 $AD$ 的延长线于点 $G$。由
(1)可知 $ \triangle ABM \cong \triangle BCN$，
∴ $BM = CN$。
∵ $BM = CM$，
∴ $CN = DN$。
∵ $ \angle BNC = \angle DNG$，$ \angle NDG = \angle BCN$，
∴ $ \triangle BCN \cong \triangle GDN (\text{ASA})$，
∴ $BC = DG$，
∵四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AD = BC$，
∴ $AD = DG$，由
(1)知 $AM \perp BN$，
∴ $ \angle APG = 90^{\circ}$，
∴ $PD = AD = 4$；
(3) $4\sqrt{5}$ 【详解】如图 2，连结 $AM$，延长 $AB$ 至点 $H$，使 $AB = BH$，连结 $HM$，$DH$。
∵ $ \triangle ABM \cong \triangle BCN$，
∴ $AM = BN$。
∵ $AB = BH = 4$，$ \angle ABM = \angle HBM = 90^{\circ}$，$BM = BM$，
∴ $ \triangle ABM \cong \triangle HBM (\text{SAS})$，
∴ $AM = HM = BN$，
∴ $BN + DM = HM + DM$，
∴当点 $H$，点 $M$，点 $D$ 三点共线时，$BN + DM$ 有最小值为 $DH$，
∵ $AD = 4$，$AH = AB + BH = 8$，
∴ $DH = \sqrt{AD^{2} + AH^{2}} = \sqrt{4^{2} + 8^{2}} = 4\sqrt{5}$，
∴ $BN + DM$ 的最小值为 $4\sqrt{5}$。