《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

11. 如图，已知 $ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径，点 $ C $，$ D $ 是 $ \odot O $ 上的点，$ OC // BD $，交 $ AD $ 于点 $ E $，连结 $ BC $。
(1) 求证：$ AE = ED $；
(2) 若 $ AB = 10 $，$ \angle CBD = 36^{\circ} $，求 $ \overset{\frown}{AC} $ 的长。

(1) 证明: ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB = 90°. ∵OC//BD, ∴∠AEO = ∠ADB = 90°, 即OC⊥AD, ∴AE = ED;
(2) 解: ∵OC⊥AD, ∴$\overset{\frown}{AC}$ = $\overset{\frown}{CD}$, ∴∠ABC = ∠CBD = 36°, ∴∠AOC = 2∠ABC = 2×36° = 72°, ∴$\overset{\frown}{AC}$的长 = $\frac{72\pi×5}{180}$ = 2π;

答案：
(1) 证明:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB = 90°.
∵OC//BD,
∴∠AEO = ∠ADB = 90°, 即OC⊥AD,
∴AE = ED;
(2) 解:
∵OC⊥AD,
∴$\overset{\frown}{AC}$ = $\overset{\frown}{CD}$,
∴∠ABC = ∠CBD = 36°,
∴∠AOC = 2∠ABC = 2×36° = 72°,
∴$\overset{\frown}{AC}$的长 = $\frac{72\pi×5}{180}$ = 2π;

12. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，分别以点 $ B $，$ C $ 为圆心，$ BC $ 长为半径，在 $ BC $ 下方画弧。设两弧相交于点 $ D $，与 $ AB $，$ AC $ 的延长线分别相交于点 $ E $，$ F $，连结 $ AD $，$ BD $，$ CD $。若 $ BC = 6 $，$ \angle BAC = 50^{\circ} $，求 $ \overset{\frown}{ED} + \overset{\frown}{FD} $ 的长(结果保留 $ \pi $)。

$\frac{11\pi}{3}$

答案： 解:
∵AB = AC, ∠BAC = 50°,
∴∠ABC = ∠ACB = 65°.
∵BD = CD = BC,
∴△BDC为等边三角形,
∴∠DBC = ∠DCB = 60°,
∴∠DBE = ∠DCF = 55°.
∵BC = 6,
∴BD = CD = 6,
∴$\overset{\frown}{ED}$ = $\overset{\frown}{FD}$ = $\frac{55\pi×6}{180}$ = $\frac{11\pi}{6}$,
∴$\overset{\frown}{ED}$ + $\overset{\frown}{FD}$ = $\frac{11\pi}{6}$ + $\frac{11\pi}{6}$ = $\frac{11\pi}{3}$.

13. 如图，一根长为 $ 2 \text{ m} $ 的木棒 $ AB $ 斜靠在与地面垂直的墙上，与地面所成角 $ \angle ABO $ 为 $ 60^{\circ} $，当木棒沿墙壁向下滑动至点 $ A' $，$ AA' = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \text{ m} $，$ B $ 端沿地面向右滑动至点 $ B' $ 时，求木棒的中点从点 $ P $ 随之运动至点 $ P' $ 所经过的路径长。

答案：
解: 连结OP, OP'. 由题意可知OP = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$A'B' = OP'.
∵AB = 2m,
∴OP = 1m. 当A端下滑, B端右滑时, AB的中点P到点O的距离始终为定长1m,
∴点P运动的路线是一段圆弧.
∵∠ABO = 60°, AP = OP, AB = 2m,
∴∠AOP = ∠OAP = 30°, OA = $\sqrt{3}$m.
∵AA' = ($\sqrt{3}$ - $\sqrt{2}$)m,
∴OA' = OA - AA' = $\sqrt{2}$m,
∴OB' = $\sqrt{A'B'^{2} - OA'^{2}}$ = $\sqrt{2}$m = OA',
∴△OA'B'是等腰直角三角形,
∴∠A'OP' = 45°,
∴∠POP' = ∠A'OP' - ∠AOP = 15°,
∴$l_{\overset{\frown}{PP'}}$ = $\frac{15\pi×1}{180}$ = $\frac{\pi}{12}$(m), 即点P运动到点P'所经过的路径长为$\frac{\pi}{12}$m.