《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

1. 定理1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.

答案： 直径　垂直于弦　平分

2. 定理2:平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.

答案： 弦

3. 几何语言:如图所示,在$\odot O$中,直径$CD$交弦$AB$(不是直径)于点$E$.
(1)若$CD\perp AB$,则有$AE = BE$,$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$,$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$;
(2)若$AE=EB$,则有$CD \perp AB$,$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$,$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$;
(3)若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,则有$CD \perp AB$,$AE = BE$,$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$.

答案：
(1)$AE = BE$ $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$ $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$
(2)$CD \perp AB$ $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$ $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$
(3)$CD \perp AB$ $AE = BE$ $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$

例1 如图,在$\odot O$中,点$M$,$N$分别为弦$AB$,$CD$的中点,$AB=CD$,$AB$不平行于$CD$.求证:$\angle AMN=\angle CNM$.
证明:如图,连结$OM$,$ON$.
由题意易证$\angle OMA=\angle ONC=90^{\circ}$,$OM=ON$.
$\therefore\angle OMN=\angle ONM$.
$\because\angle AMN=\angle OMA+\angle OMN$,$\angle CNM=\angle ONC+\angle ONM$,
$\therefore\angle AMN=\angle CNM$.

答案： 证明:如图,连结$OM$,$ON$.
由题意易证$\angle OMA=\angle ONC=90^{\circ}$,$OM=ON$.
$\therefore\angle OMN=\angle ONM$.
$\because\angle AMN=\angle OMA+\angle OMN$,$\angle CNM=\angle ONC+\angle ONM$,
$\therefore\angle AMN=\angle CNM$.

例2 如图所示,$AB$是半圆$O$的直径,点$O$是圆心,点$C$是半圆上一点,点$E$是$\overset{\frown}{AC}$的中点,$OE$交弦$AC$于点$D$,若$AC=8\mathrm{cm}$,$DE=2\mathrm{cm}$,求$OD$的长.
解:$\because$点$E$是$\overset{\frown}{AC}$的中点,$OE$过圆心,
$\therefore OE\perp AC$,$AD=CD=\frac{1}{2}AC=$4$\mathrm{cm}$.
设半圆$O$的半径为$r\mathrm{cm}$,则$OA=OE=r\mathrm{cm}$,$OD=$$r-2$$\mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}\triangle ADO$中,由勾股定理,得$OA^{2}=AD^{2}+OD^{2}$,
即$r^{2}=$4$^{2}+$$r-2$$^{2}$,解得$r=$5.
$\therefore OD=OE-DE=$5$-2=$3$(\mathrm{cm})$.

答案： 解:$\because$点$E$是$\overset{\frown}{AC}$的中点,$OE$过圆心,
$\therefore OE\perp AC$,$AD=CD=\frac{1}{2}AC=4\mathrm{cm}$.
设半圆$O$的半径为$r\mathrm{cm}$,则$OA=OE=r\mathrm{cm}$,$OD=(r-2)\mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}\triangle ADO$中,由勾股定理,得$OA^{2}=AD^{2}+OD^{2}$,
即$r^{2}=4^{2}+(r-2)^{2}$,解得$r=5$.
$\therefore OD=OE-DE=5-2=3(\mathrm{cm})$.

例3 如图,点$M$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,过点$M$的弦$MN$交$AB$于点$C$.已知$\odot O$的半径为$4\mathrm{cm}$,$MN=4\sqrt{3}\mathrm{cm}$,求$\angle ACM$的度数.
解:连结$OM$,过点$O$作$OD\perp MN$于点$D$.
$\because OD\perp MN$,
$\therefore MD=\frac{1}{2}MN=$$2\sqrt{3}$$\mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}\triangle ODM$中,$\because OM=4\mathrm{cm}$,$MD=2\sqrt{3}\mathrm{cm}$,
$\therefore OD=\sqrt{OM^{2}-MD^{2}}=$$2$$\mathrm{cm}$,
$\therefore\angle OMD=$$30^{\circ}$.
$\because$点$M$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$\therefore OM\perp AB$,
$\therefore\angle ACM=90^{\circ}-\angle OMD=$$60^{\circ}$.

答案： 解:连结$OM$,过点$O$作$OD\perp MN$于点$D$.
$\because OD\perp MN$,
$\therefore MD=\frac{1}{2}MN=2\sqrt{3}\mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}\triangle ODM$中,$\because OM=4\mathrm{cm}$,$MD=2\sqrt{3}\mathrm{cm}$,
$\therefore OD=\sqrt{OM^{2}-MD^{2}}=2\mathrm{cm}$,
$\therefore\angle OMD=30^{\circ}$.
$\because$点$M$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$\therefore OM\perp AB$,
$\therefore\angle ACM=90^{\circ}-\angle OMD=60^{\circ}$.