《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

9. 如图，在半径为 $5$ 的 $\odot A$ 中，弦 $BC$，$ED$ 所对的圆心角分别是 $\angle BAC$，$\angle EAD$. 已知 $DE = 6$，$\angle BAC + \angle EAD = 180^{\circ}$，则圆心 $A$ 到弦 $BC$ 的距离为____3.

答案： 3

10. 如图，$AB$，$CD$ 是 $\odot O$ 的两条直径，过点 $A$ 作 $AE // CD$ 交 $\odot O$ 于点 $E$，连结 $BD$，$DE$. 求证：$BD = DE$.

答案：
证明:如图，连结 $OE$. $\because OA = OE$, $\therefore \angle A=\angle OEA$. $\because AE// CD$, $\therefore \angle BOD=\angle A$, $\angle DOE=\angle OEA$, $\therefore \angle BOD=\angle DOE$, $\therefore BD = DE$.

11. 如图，在 $\odot O$ 中，$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{CB}$，$CD \perp OA$ 于点 $D$，$CE \perp OB$ 于点 $E$. 求证：$AD = BE$.

答案：
证明:如图，连结 $OC$. $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$, $\therefore \angle AOC=\angle BOC$. $\because CD\perp OA$, $CE\perp OB$, $\therefore \angle CDO=\angle CEO = 90^{\circ}$. 在 $\triangle COD$ 和 $\triangle COE$ 中, $\because \left\{\begin{array}{l} \angle CDO=\angle CEO,\\ \angle DOC=\angle EOC,\\ CO = CO,\end{array}\right.$ $\triangle COD\cong\triangle COE$ (AAS), $\therefore OD = OE$, 又 $\because AO = BO$, $\therefore AD = BE$.

12. 如图，点 $O$ 为等腰三角形 $ABC$ 的底边 $AB$ 的中点，以 $AB$ 为直径的半圆与 $AC$，$BC$ 分别交于点 $D$，$E$. 求证：$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BE}$.

证明:连结 $OD$, $OE$ (图略). $\because AC = BC$, $\therefore \angle A=\angle B$. 又 $\because OA = OD = OE = OB$, $\therefore \angle ODA=\angle A=\angle B=\angle OEB$, $\therefore \angle AOD=\angle BOE$, $\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$.

答案： 证明:连结 $OD$, $OE$ (图略). $\because AC = BC$, $\therefore \angle A=\angle B$. 又 $\because OA = OD = OE = OB$, $\therefore \angle ODA=\angle A=\angle B=\angle OEB$, $\therefore \angle AOD=\angle BOE$, $\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$.

13. 如图，在 $\odot O$ 中，点 $C$ 是优弧 $ACB$ 的中点，点 $D$，$E$ 分别是 $OA$，$OB$ 上的点，且 $AD = BE$，弦 $CM$，$CN$ 分别过点 $D$，$E$. 求证：
(1) $CD = CE$；
(2) $\overset{\frown}{AM} = \overset{\frown}{BN}$.

答案：
证明:
(1)如图，连结 $OC$. $\because$ 点 $C$ 是优弧 $ACB$ 的中点, 即 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$, $\therefore \angle COD=\angle COE$. $\because OA = OB$, $AD = BE$, $\therefore OD = OE$. 又 $\because OC = OC$, $\therefore \triangle COD\cong\triangle COE$, $\therefore CD = CE$;
(2)如图，连结 $OM$, $ON$. $\because \triangle COD\cong\triangle COE$, $\therefore \angle CDO=\angle CEO$, $\angle OCD=\angle OCE$. $\because OC = OM = ON$, $\therefore \angle OCM=\angle OMC$, $\angle OCN=\angle ONC$. $\because \angle OMD=\angle ONE$, 又 $\because \angle CDO=\angle OMD+\angle MOD$, $\angle CEO=\angle ONE+\angle NOE$, $\therefore \angle MOD=\angle NOE$, $\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.