《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

11. 方程 $ x(x - 2) = x $ 的根是$ x_{1}=0 $，$ x_{2}=3 $。

答案： $ x_{1}=0 $，$ x_{2}=3 $

12. 已知 $ a $ 是方程 $ 3x^{2} - 4x - 6 = 0 $ 的一个根，则代数式 $ a^{2} - \frac{4}{3}a + 2 $ 的值为4。

答案： 4

13. 若方程 $ ax^{2} + 2x + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根，则 $ a $ 的取值范围是$ a ＜ 1 $。

答案： $ a ＜ 1 $

14. 关于 $ x $ 的方程 $ a(x + m)^{2} + b = 0 $（$ a $，$ m $，$ b $ 均为常数）的根是 $ x_{1} = -3 $，$ x_{2} = 4 $，则方程 $ a(x + m - 1)^{2} + b = 0 $ 的根是$ x_{1}=-2 $，$ x_{2}=5 $。

答案： $ x_{1}=-2 $，$ x_{2}=5 $

15. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - (a + 5)x + 8a = 0 $ 的两个实数根分别为 2 和 $ b $，则 $ ab = $4。

答案： 4

16. 定义：我们把关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 与 $ cx^{2} + bx + a = 0 $（$ a \neq c $，$ ac \neq 0 $）称为一元二次方程的一对“友好方程”。如果一元二次方程的一对“友好方程”有公共解，那么这个公共解是______$ x_{1}=1 $，$ x_{2}=-1 $。

答案： $ x_{1}=1 $，$ x_{2}=-1 $

17. 解方程：
（1）$ (3x + 1)^{2} = 9(2x + 3)^{2} $；$ x_{1}=-\frac{8}{3} $，$ x_{2}=-\frac{10}{9} $
（2）$ (3x - 11)(x - 2) = 2 $；$ x_{1}=\frac{5}{3} $，$ x_{2}=4 $
（3）$ \frac{x(x + 1)}{3} - 1 = \frac{(x - 1)(x + 2)}{4} $；$ x_{1}=2 $，$ x_{2}=-3 $
（4）$ (\sqrt{3}x - \sqrt{2})(\sqrt{3}x + \sqrt{2}) = x $。$ x_{1}=1 $，$ x_{2}=-\frac{2}{3} $

答案：
(1) $ x_{1}=-\frac{8}{3} $，$ x_{2}=-\frac{10}{9} $；
(2) $ x_{1}=\frac{5}{3} $，$ x_{2}=4 $；
(3) $ x_{1}=2 $，$ x_{2}=-3 $；
(4) $ x_{1}=1 $，$ x_{2}=-\frac{2}{3} $。

18. 已知 $ a $ 是一元二次方程 $ x^{2} - 4x + 1 = 0 $ 的两个实数根中较小的根。
（1）求 $ a^{2} - 4a + 2024 $ 的值；
（2）化简并求值 $ \sqrt{a^{2} - 2a + 1} - \frac{1}{a} $。

答案： 解：
(1) 2023；
(2) -3。