《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

21. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且$EF=ED$，$EF⊥ED$.
求证：AE平分$∠BAD$.

证明：∵ $EF \perp ED$，∴ $ \angle FED = 90^{\circ}$，∴ $ \angle BEF + \angle DEC = 90^{\circ}$。又∵ $ \angle B = 90^{\circ}$，∴ $ \angle BEF + \angle BFE = 90^{\circ}$，∴ $ \angle BFE = \angle CED$。又∵ $ \angle B = \angle C = 90^{\circ}$，$EF = ED$，∴ $ \triangle BEF \cong \triangle CDE$（AAS），∴ $BE = CD$。∵四边形 $ABCD$ 是矩形，∴ $AB = CD$，∴ $AB = BE$。∵ $ \angle B = 90^{\circ}$，∴ $ \angle BAE = \angle BEA = 45^{\circ}$，∴ $ \angle BAE = \frac{1}{2} \angle BAD$，∴ $AE$ 平分 $ \angle BAD$。

答案： 证明：
∵ $EF \perp ED$，
∴ $ \angle FED = 90^{\circ}$，
∴ $ \angle BEF + \angle DEC = 90^{\circ}$。又
∵ $ \angle B = 90^{\circ}$，
∴ $ \angle BEF + \angle BFE = 90^{\circ}$，
∴ $ \angle BFE = \angle CED$。又
∵ $ \angle B = \angle C = 90^{\circ}$，$EF = ED$，
∴ $ \triangle BEF \cong \triangle CDE$，
∴ $BE = CD$。
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AB = CD$，
∴ $AB = BE$。
∵ $ \angle B = 90^{\circ}$，
∴ $ \angle BAE = \angle BEA = 45^{\circ}$，
∴ $ \angle BAE = \frac{1}{2} \angle BAD$，
∴ $AE$ 平分 $ \angle BAD$。

22. 如图，已知点E是$□ ABCD$中BC边的中点，连结AE并延长交DC的延长线于点F.
（1）求证：$\triangle ABE\cong \triangle FCE$；
证明：∵四边形 $ABCD$ 为平行四边形，∴ $AB // DC$，∴ $ \angle ABE = \angle ECF$。又∵点 $E$ 为 $BC$ 的中点，∴ $BE = CE$。∵ $ \angle AEB = \angle FEC$（对顶角相等），∴ $ \triangle ABE \cong \triangle FCE$ASA；
（2）连结AC，BF，若$∠AEC=2∠ABC$，求证：四边形ABFC为矩形.
证明：∵ $ \triangle ABE \cong \triangle FCE$，∴ $AB = CF$。又∵ $AB // CF$，∴四边形 $ABFC$ 为平行四边形，∴ $BE = EC$，$AE = EF$。又∵ $ \angle AEC = 2 \angle ABC$，且 $ \angle AEC$ 为 $ \triangle ABE$ 的外角，∴ $ \angle AEC = \angle ABC + \angle EAB$，∴ $ \angle ABC = \angle EAB$，∴ $AE = BE$，∴ $AE + EF = BE + EC$，即 $AF = BC$，则四边形 $ABFC$ 为矩形.

答案： 证明：
(1)
∵四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
∴ $AB // DC$，
∴ $ \angle ABE = \angle ECF$。又
∵点 $E$ 为 $BC$ 的中点，
∴ $BE = CE$。
∵ $ \angle AEB = \angle FEC$（对顶角相等），
∴ $ \triangle ABE \cong \triangle FCE (\text{ASA})$；
(2)
∵ $ \triangle ABE \cong \triangle FCE$，
∴ $AB = CF$。又
∵ $AB // CF$，
∴四边形 $ABFC$ 为平行四边形，
∴ $BE = EC$，$AE = EF$。又
∵ $ \angle AEC = 2 \angle ABC$，且 $ \angle AEC$ 为 $ \triangle ABE$ 的外角，
∴ $ \angle AEC = \angle ABC + \angle EAB$，
∴ $ \angle ABC = \angle EAB$，
∴ $AE = BE$，
∴ $AE + EF = BE + EC$，即 $AF = BC$，则四边形 $ABFC$ 为矩形。

23. 在菱形ABCD中，$∠B=60^{\circ }$，点E在边BC上，点F在边CD上.
（1）如图1，若点E是BC的中点，$∠AEF=60^{\circ }$，求证：$BE=DF$；
证明：连结AC，如图1。∵在菱形ABCD中，$AB = BC$，$ \angle B = 60^{\circ}$，∴ $ \triangle ABC$ 是等边三角形。∵点E是BC的中点，∴ $AE \perp BC$。∵ $ \angle AEF = 60^{\circ}$，∴ $ \angle FEC = 90^{\circ} - \angle AEF = $$30^{\circ}$。又∵在菱形ABCD中，$AB // CD$，∴ $ \angle BCD = 180^{\circ} - \angle B = $$120^{\circ}$，∴ $ \angle CFE = 180^{\circ} - \angle FEC - \angle BCD = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 120^{\circ} = 30^{\circ}$，∴ $ \angle FEC = \angle CFE$，∴ $EC = CF$。又∵ $BC = CD$，∴ $BE = DF$；
（2）如图2，若$∠EAF=60^{\circ }$，求证：$\triangle AEF$是等边三角形.
证明：连结AC，如图2。∵四边形ABCD是菱形，$ \angle B = 60^{\circ}$，∴ $AB = BC$，$ \angle D = \angle B = 60^{\circ}$，$ \angle ACB = \angle ACF$，∴ $ \triangle ABC$ 是等边三角形，∴ $AB = AC$，$ \angle ACB = 60^{\circ}$，∴ $ \angle B = \angle ACF = 60^{\circ}$。∵在菱形ABCD中，$AD // BC$，∴ $ \angle AEB = \angle EAD = \angle EAF + \angle FAD = 60^{\circ} + \angle FAD$，$ \angle AFC = \angle D + \angle FAD = 60^{\circ} + \angle FAD$，∴ $ \angle AEB = \angle AFC$。在 $ \triangle ABE$ 和 $ \triangle AFC$ 中，$ \angle B = \angle ACF$，$ \angle AEB = \angle AFC$，$AB = AC$，∴ $ \triangle ABE \cong \triangle ACF$（AAS），∴ $AE = AF$。∵ $ \angle EAF = 60^{\circ}$，∴ $ \triangle AEF$ 是等边三角形.

答案： 证明：
(1) 连结 $AC$，如图 1。
∵在菱形 $ABCD$ 中，$AB = BC$，$ \angle B = 60^{\circ}$，
∴ $ \triangle ABC$ 是等边三角形。
∵点 $E$ 是 $BC$ 的中点，
∴ $AE \perp BC$。
∵ $ \angle AEF = 60^{\circ}$，
∴ $ \angle FEC = 90^{\circ} - \angle AEF = 30^{\circ}$。又
∵在菱形 $ABCD$ 中，$AB // CD$，
∴ $ \angle BCD = 180^{\circ} - \angle B = 120^{\circ}$，
∴ $ \angle CFE = 180^{\circ} - \angle FEC - \angle BCD = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 120^{\circ} = 30^{\circ}$，
∴ $ \angle FEC = \angle CFE$，
∴ $EC = CF$。又
∵ $BC = CD$，
∴ $BE = DF$；
(2) 连结 $AC$，如图 2。
∵四边形 $ABCD$ 是菱形，$ \angle B = 60^{\circ}$，
∴ $AB = BC$，$ \angle D = \angle B = 60^{\circ}$，$ \angle ACB = \angle ACF$，
∴ $ \triangle ABC$ 是等边三角形，
∴ $AB = AC$，$ \angle ACB = 60^{\circ}$，
∴ $ \angle B = \angle ACF = 60^{\circ}$。
∵在菱形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，
∴ $ \angle AEB = \angle EAD = \angle EAF + \angle FAD = 60^{\circ} + \angle FAD$，$ \angle AFC = \angle D + \angle FAD = 60^{\circ} + \angle FAD$，
∴ $ \angle AEB = \angle AFC$。在 $ \triangle ABE$ 和 $ \triangle AFC$ 中，$ \angle B = \angle ACF$，$ \angle AEB = \angle AFC$，$AB = AC$，
∴ $ \triangle ABE \cong \triangle ACF (\text{AAS})$，
∴ $AE = AF$。
∵ $ \angle EAF = 60^{\circ}$，
∴ $ \triangle AEF$ 是等边三角形。