《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

12. 已知函数$y=(m^{2}-m)x^{2}+(m-1)x+m+1$。
(1)若这个函数是一次函数，求$m$的值；
(2)若这个函数是二次函数，求$m$的值。

答案： 解:
(1)根据一次函数的定义,得 $ m^{2} - m = 0 $，解得 $ m = 0 $ 或 $ m = 1 $。又 $ \because m - 1 \neq 0 $，$ \therefore m \neq 1 $，$ \therefore $ 当 $ m = 0 $ 时，这个函数是一次函数；
(2)根据二次函数的定义，得 $ m^{2} - m \neq 0 $，解得 $ m \neq 0 $ 且 $ m \neq 1 $，$ \therefore $ 当 $ m \neq 0 $ 且 $ m \neq 1 $ 时，这个函数是二次函数。

13. 如图，一个正方形的边长是12cm。若从中挖去一个长为$2x$cm，宽为$(x+1)$cm的小长方形，剩余部分的面积为$y$cm²。
(1)写出$y$与$x$之间的函数表达式，并指出$y$是$x$的什么函数；
函数表达式为$y = -2x^{2} - 2x + 144$，$y$是$x$的二次函数；
(2)当小长方形的长$x$的值分别为2，4时，相应剩余部分的面积是多少？
当$x=2$时，剩余部分的面积是132cm²；当$x=4$时，剩余部分的面积是104cm²。

答案： 解:
(1)$ y = 12 \times 12 - 2x(x + 1) $，即 $ y = -2x^{2} - 2x + 144 $，$ \therefore y $ 是关于 $ x $ 的二次函数；
(2)当 $ x = 2 $ 时，$ y = 132(cm^{2}) $；当 $ x = 4 $ 时，$ y = 104(cm^{2}) $。

14. 如图，已知等腰直角三角形$ABC$的直角边长与正方形$MNPQ$的边长均为20cm，$AC$与$MN$在同一条直线上，开始时点$A$与点$N$重合，让$\triangle ABC$以2cm/s的速度向左运动，最终点$A$与点$M$重合，求：
(1)重叠部分的面积$y$(cm²)与时间$t$(s)之间的函数表达式和自变量的取值范围；
(2)分别求当$t=1$，$t=2$时重叠部分的面积。
(1)$y=$$\frac{1}{2}(20 - 2t)^{2}$($0 \leq t \leq 10$)；
(2)当$t=1$时$y=$162(cm²)；当$t=2$时$y=$128(cm²)。

答案： 解:
(1)$ y = \frac{1}{2}(20 - 2t)^{2}(0 \leq t \leq 10) $；
(2)当 $ t = 1 $ 时 $ y = 162(cm^{2}) $；当 $ t = 2 $ 时 $ y = 128(cm^{2}) $。