《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

18. (8分)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧.
(1)用直尺和圆规作出圆弧所在圆的圆心O;(要求保留作图痕迹,不写作法)
(2)若$\widehat {AB}$的中点C到弦AB的距离为20m,$AB=80m$,求圆弧所在圆的半径.

答案：
解:
(1)如图.点O为所求;

(2)如图，连结OA，OC，OC交AB于D.
∵点C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴OC⊥AB，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=40m.设⊙O的半径为r m，则OA=r m，OD=OC - CD=(r - 20)m，在Rt△OAD中，
∵OA²=OD²+AD²，
∴r²=(r - 20)²+40²，解得r=50，即圆弧所在圆的半径是50m.

19. (8分)如图,$\odot O$为四边形ABCD的外接圆,其中$\widehat {CD}=\widehat {CB},CE⊥AB$于点E.求证:$AB=AD+2BE$.
证明:过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F点.∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，∴CD=CB，∠DAC=∠BAC，又∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴CF=CE，∴Rt△ACF≌Rt△ACE (HL)，Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)，∴AF=AE，DF=BE，∴AD+DF=AB - BE，∴AB=AD+DF+BE=AD+2BE.

答案： 证明:过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F点.
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，
∴CD=CB，∠DAC=∠BAC，又
∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CF=CE，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE (HL)，Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)，
∴AF=AE，DF=BE，
∴AD+DF=AB - BE，
∴AB=AD+DF+BE=AD+2BE.

20. (8分)如图,AB为$\odot O$的直径,$AB=AC$,BC交$\odot O$于点D,AC交$\odot O$于点E.
(1)求证:$BD=CD$;
(2)若$AB=8,∠BAC=45^{\circ }$,求阴影部分的面积.

答案：

(1)证明:如图，连结AD.
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，又
∵AB=AC，
∴BD=CD;
(2)解:连结OE，
∵AB=8，∠BAC=45°，
∴∠BOE=90°，BO=EO=4，∠AOE=90°，
∴S阴影=S△BOE+S扇形AOE=$\frac{1}{2}$×4×4+$\frac{90π×4²}{360}$=8+4π.