《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

12. 如图,$\odot O$的直径为 10 cm,弦$AB = 8$cm,点 P 是弦 AB 上的一个动点,求 OP 长的取值范围.

答案：
12. 解: 如图, 过点 $O$ 作 $O E \perp A B$ 于点 $E$, 连结 $O B. \because A B$ $=8 \mathrm{~cm}, \therefore A E=B E=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \times 8=4(\mathrm{~cm}) . \because \odot O$ 的直径为 $10 \mathrm{~cm}, \therefore O B=\frac{1}{2} \times 10=5(\mathrm{~cm}), \therefore O E=$ $\sqrt{O B^{2}-B E^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3(\mathrm{~cm})$. $\because$ 垂线段最短, 半径最长, $\therefore 3 \mathrm{~cm} \leqslant O P \leqslant 5 \mathrm{~cm}$.

13. 如图,在半径为 5 的扇形 OAB 中,$\angle AOB = 90^{\circ}$,点 C 是$\overset{\frown}{AB}$上的一个动点(不与点 A,B 重合),$OD\perp BC$,$OE\perp AC$,垂足分别为点 D,E.
(1)当$BC = 6$时,求 OD 的长;4
(2)在点 C 移动的过程中,$\triangle DOE$中是否存在长度保持不变的边? 如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由.存在，DE的长保持不变，为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$

答案： 13. 解:
(1) $\because O D \perp B C, \therefore$ $\angle B D O=90^{\circ}, B D=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} \times 6=3 . \because O B=5, \therefore O D=$ $\sqrt{O B^{2}-B D^{2}}=4$;
(2) 存在. 理由如下: 连结 $A B . \because$ $\angle A O B=90^{\circ}, O A=O B=5, \therefore A B=\sqrt{O B^{2}+O A^{2}}=5 \sqrt{2}$. $\because O D \perp B C, O E \perp A C, \therefore$ 点 $D, E$ 分别是线段 $B C, A C$ 的中点, $\therefore D E$ 是 $\triangle A B C$ 的中位线, $\therefore D E=\frac{1}{2} A B=\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \therefore$ $D E$ 的长保持不变, 为 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$.