《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

例 3 某地有一座圆弧形拱桥,如图所示,桥下水面宽度 AB 为 7.2 m,拱顶 C 高出水面 2.4 m,现有一艘宽 3 m,顶部为长方形并且高出水面 2 m 的货船要经过这里.此货船能顺利通过拱桥吗?

解:如图所示,设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点 O,作$OD\perp AB$,垂足为点 D,OD 的延长线交 MN 于点 H,交$\overset{\frown}{AB}$于点 C.连结 OA,ON.
由题意知$DC = 2.4$m.
设$OA = r$m,则$OD = OC - CD = (r - 2.4)$m,$AD = \frac{1}{2}AB =$3.6m.
在$Rt\triangle OAD$中,$OA^{2} = AD^{2}+OD^{2}$,
即$r^{2} = 3.6^{2}+(r - 2.4)^{2}$,$\therefore r =$3.9.
若$EF = 3$m,则$DF = NH = \frac{1}{2}×3 =$1.5m.
在$Rt\triangle ONH$中,$OH = \sqrt{ON^{2}-NH^{2}} = \sqrt{3.9^{2}-1.5^{2}} =$3.6m,
$\therefore FN = DH = OH - OD = 3.6-(3.9 - 2.4) =$2.1m.
$\because 2 ＜ 2.1$,$\therefore$此货船能顺利通过拱桥,但要小心.

答案： 解:如图所示,设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点 O,作$OD\perp AB$,垂足为点 D,OD 的延长线交 MN 于点 H,交$\overset{\frown}{AB}$于点 C.连结 OA,ON.
由题意知$DC = 2.4$m.
设$OA = r$m,则$OD = OC - CD = (r - 2.4)$m,$AD = \frac{1}{2}AB = 3.6$m.
在$Rt\triangle OAD$中,$OA^{2} = AD^{2}+OD^{2}$,
即$r^{2} = 3.6^{2}+(r - 2.4)^{2}$,$\therefore r = 3.9$.
若$EF = 3$m,则$DF = NH = \frac{1}{2}\times3 = 1.5$m.
在$Rt\triangle ONH$中,$OH = \sqrt{ON^{2}-NH^{2}} = \sqrt{3.9^{2}-1.5^{2}} = 3.6$m,
$\therefore FN = DH = OH - OD = 3.6-(3.9 - 2.4) = 2.1$m.
$\because 2 ＜ 2.1$,$\therefore$此货船能顺利通过拱桥,但要小心.

1. 如图,AB 是$\odot O$的直径,弦$CD\perp AB$于点 E,$OC = 5$cm,$CD = 8$cm,则 AE 等于(A)

A. 8 cm
B. 5 cm
C. 3 cm
D. 2 cm

答案： A

2. 在$\odot O$中,弦 AB 垂直平分一条半径,则该弦的长是半径的(B)
A. $\sqrt{2}$倍
B. $\sqrt{3}$倍
C. 2 倍
D. $\sqrt{5}$倍

答案： B

3. 如图,$\odot O$的直径$CD = 10$cm,AB 是$\odot O$的弦,$AB\perp CD$,垂足为点 M,$OM:OC = 4:5$,则 AB 的长为(A)
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9

答案： A

4. 如图,在半径为 5 的$\odot O$中,AB,CD 是互相垂直的两条弦,垂足为点 P,且$AB = CD = 8$,则 OP 的长为(C)
A. 3
B. 4
C. $3\sqrt{2}$
D. $4\sqrt{2}$

答案： C

5. 如图,$\odot O$的半径为 13,弦 AB 的长为 24,点 M 是弦 AB 上的动点,则线段 OM 长的最小值为(D)
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5

答案： D